Номер 24, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

24. Высота пирамиды равна 12 м, площадь основания – 576 $м^2$. На каком расстоянии от основания находится сечение, параллельное ему, если площадь сечения 64 $м^2$?

Пусть $H$ — высота исходной пирамиды, а $S$ — площадь её основания. Согласно условию задачи, $H = 12$ м и $S = 576$ м².

Сечение, проведённое параллельно основанию, отсекает от исходной пирамиды новую, меньшую пирамиду, которая подобна исходной. Обозначим высоту этой меньшей пирамиды (от вершины до сечения) как $h_1$, а площадь её основания (т.е. площадь сечения) как $S_1$. По условию, $S_1 = 64$ м².

Расстояние от основания до сечения, которое нам нужно найти, обозначим как $d$. Это расстояние можно вычислить как разность высоты всей пирамиды и высоты меньшей пирамиды: $d = H - h_1$.

Для подобных тел отношение их площадей поверхностей (в данном случае, площадей оснований) равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициентом подобия является отношение соответствующих линейных размеров, например, высот. Таким образом, справедливо следующее соотношение:

$ \frac{S_1}{S} = \left(\frac{h_1}{H}\right)^2 $

Подставим известные значения в эту формулу для нахождения высоты $h_1$:

$ \frac{64}{576} = \left(\frac{h_1}{12}\right)^2 $

Упростим дробь в левой части. Можно заметить, что $64 = 8^2$ и $576 = 24^2$:

$ \frac{64}{576} = \frac{8^2}{24^2} = \left(\frac{8}{24}\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} $

Уравнение принимает вид:

$ \frac{1}{9} = \left(\frac{h_1}{12}\right)^2 $

Извлечём квадратный корень из обеих частей. Так как высота — величина положительная, рассматриваем только арифметический корень:

$ \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{h_1}{12} $

$ \frac{1}{3} = \frac{h_1}{12} $

Теперь найдём высоту меньшей пирамиды $h_1$:

$ h_1 = \frac{12 \cdot 1}{3} = 4 $ м.

Это расстояние от вершины пирамиды до плоскости сечения. Чтобы найти искомое расстояние от основания до сечения ($d$), вычтем $h_1$ из полной высоты $H$:

$ d = H - h_1 = 12 - 4 = 8 $ м.

Ответ: сечение находится на расстоянии 8 м от основания.