Номер 18, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

18. Основанием пирамиды является прямоугольник. Его стороны равны 0,6 дм, 0,8 дм. Каждое боковое ребро пирамиды равно 1,5 дм. Найдите высоту пирамиды.

Пусть дана пирамида, основанием которой является прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 0,8$ дм и $BC = 0,6$ дм. Пусть $S$ — вершина пирамиды. По условию, все боковые ребра пирамиды равны, то есть $SA = SB = SC = SD = 1,5$ дм.

Если все боковые ребра пирамиды равны, то ее вершина проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника центром описанной окружности является точка пересечения его диагоналей. Обозначим эту точку буквой $O$. Таким образом, высота пирамиды $H$ — это отрезок $SO$, который перпендикулярен плоскости основания $ABCD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$. В этом треугольнике гипотенузой является боковое ребро $SA$, а катетами — высота пирамиды $SO$ и отрезок $AO$, который равен половине диагонали основания $AC$. Согласно теореме Пифагора, справедливо равенство: $SA^2 = SO^2 + AO^2$. Отсюда, высоту $SO$ можно найти как $SO = \sqrt{SA^2 - AO^2}$.

Для начала найдем длину диагонали $AC$ прямоугольника $ABCD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$. По теореме Пифагора:$AC^2 = AB^2 + BC^2$$AC^2 = (0,8)^2 + (0,6)^2 = 0,64 + 0,36 = 1$$AC = \sqrt{1} = 1$ дм.

Точка $O$ является серединой диагонали $AC$, следовательно, длина отрезка $AO$ составляет половину длины диагонали:$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0,5$ дм.

Теперь, зная длины бокового ребра $SA = 1,5$ дм и отрезка $AO = 0,5$ дм, мы можем найти высоту пирамиды $H = SO$:$H^2 = SA^2 - AO^2$$H^2 = (1,5)^2 - (0,5)^2 = 2,25 - 0,25 = 2$$H = \sqrt{2}$ дм.

Ответ: Высота пирамиды равна $\sqrt{2}$ дм.