Номер 25, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

25. Основание пирамиды — ромб с диагоналями 6 см и 8 см; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба и равна 3 см. Найдите площади диагональных сечений.

По условию задачи, основанием пирамиды $SABCD$ является ромб $ABCD$ с диагоналями $d_1$ и $d_2$. Высота пирамиды $SO$ проходит через точку пересечения диагоналей $O$ и равна $H$.

Дано:

Диагональ $AC = d_1 = 8$ см.

Диагональ $BD = d_2 = 6$ см.

Высота пирамиды $SO = H = 3$ см.

Диагональные сечения пирамиды – это треугольники, образованные двумя боковыми ребрами, проходящими через вершины одной диагонали основания, и самой этой диагональю. В нашем случае это треугольники $\triangle SAC$ и $\triangle SBD$.

Площадь первого диагонального сечения

Первое диагональное сечение – это треугольник $\triangle SAC$. Его основанием является диагональ ромба $AC = 8$ см. Поскольку высота пирамиды $SO$ опущена в точку пересечения диагоналей $O$, она перпендикулярна плоскости основания, а значит, и диагонали $AC$. Следовательно, $SO$ является высотой треугольника $\triangle SAC$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ – основание, $h$ – высота.

Площадь сечения $\triangle SAC$ равна:

$S_1 = S_{\triangle SAC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.

Площадь второго диагонального сечения

Второе диагональное сечение – это треугольник $\triangle SBD$. Его основанием является диагональ ромба $BD = 6$ см. Высотой этого треугольника также является высота пирамиды $SO=3$ см, так как $SO \perp BD$.

Площадь сечения $\triangle SBD$ равна:

$S_2 = S_{\triangle SBD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 9 \text{ см}^2$.

Ответ: площади диагональных сечений равны 12 см² и 9 см².