Номер 6, страница 30 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

6. Сторона верхнего основания правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 1 см, а сторона нижнего основания в пять раз больше стороны верхнего основания. Площадь боковой поверхности пирамиды равна $24\sqrt{2} \text{ см}^2$. Найдите апофему и высоту усеченной пирамиды.

Нахождение апофемы
Дана правильная четырехугольная усеченная пирамида. Сторона ее верхнего основания $a_1 = 1$ см. Сторона нижнего основания $a_2$ в пять раз больше, следовательно, $a_2 = 5 \cdot 1 = 5$ см. Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок} = 24\sqrt{2}$ см². Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды находится по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $l$ — апофема пирамиды (высота боковой грани). Так как основания являются квадратами, их периметры равны: $P_1 = 4a_1 = 4 \cdot 1 = 4$ см. $P_2 = 4a_2 = 4 \cdot 5 = 20$ см. Подставим известные значения в формулу площади и найдем апофему $l$:
$24\sqrt{2} = \frac{1}{2}(4 + 20) \cdot l$
$24\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot l$
$24\sqrt{2} = 12l$
$l = \frac{24\sqrt{2}}{12} = 2\sqrt{2}$ см.
Ответ: апофема равна $2\sqrt{2}$ см.

Нахождение высоты
Высоту усеченной пирамиды $h$ можно найти из прямоугольного треугольника. Этот треугольник образуют высота пирамиды $h$ (катет), апофема $l$ (гипотенуза) и отрезок, соединяющий основания высоты и апофемы (второй катет). Длина второго катета равна полуразности сторон оснований: $\frac{a_2 - a_1}{2}$. Вычислим длину этого катета: $\frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см. Геометрическое соотношение этих элементов показано на рисунке (в осевом сечении пирамиды, проходящем через апофемы):

По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + \left(\frac{a_2 - a_1}{2}\right)^2$. Подставим найденные значения $l = 2\sqrt{2}$ см и $\frac{a_2 - a_1}{2} = 2$ см:
$(2\sqrt{2})^2 = h^2 + 2^2$
$8 = h^2 + 4$
$h^2 = 8 - 4 = 4$
$h = \sqrt{4} = 2$ см.
Ответ: высота равна 2 см.