Номер 26, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

26. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите площади диагональных сечений.

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$ с вершиной $S$ и центром основания $O$.

По условию, сторона основания (правильного шестиугольника) равна $a = 8$ см. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $45^\circ$. Угол между боковым ребром (например, $SA$) и плоскостью основания — это угол между ребром и его проекцией на эту плоскость (отрезком $OA$). Таким образом, $\angle SAO = 45^\circ$.

Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна основанию, поэтому треугольник $\triangle SOA$ прямоугольный. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности $R$ равен его стороне $a$. Следовательно, $OA = R = a = 8$ см.

Из $\triangle SOA$ найдем высоту пирамиды $H = SO$:

$H = SO = OA \cdot \tan(\angle SAO) = 8 \cdot \tan(45^\circ) = 8 \cdot 1 = 8$ см.

В правильном шестиугольнике есть два типа диагоналей: большие (проходящие через центр) и малые. Соответственно, существует два вида диагональных сечений.

Площадь большего диагонального сечения

Большее диагональное сечение проходит через большую диагональ основания, например, $AD$. Это сечение представляет собой треугольник $\triangle SAD$.

Длина большей диагонали $AD$ равна двум радиусам описанной окружности: $d_1 = AD = 2R = 2a = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Высота треугольника $\triangle SAD$, проведенная из вершины $S$ к основанию $AD$, совпадает с высотой пирамиды $SO$, так как $SO \perp AD$.

Площадь большего диагонального сечения $S_1$ равна:

$S_1 = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 8 = 64$ см$^2$.

Ответ: $64$ см$^2$.

Площадь меньшего диагонального сечения

Меньшее диагональное сечение проходит через меньшую диагональ основания, например, $AC$. Это сечение представляет собой треугольник $\triangle SAC$.

Длину меньшей диагонали $AC$ можно найти по теореме косинусов из треугольника $\triangle ABC$, где $AB=BC=a=8$ см, а $\angle ABC = 120^\circ$.

$d_2^2 = AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ) = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot (-\frac{1}{2}) = 64 + 64 + 64 = 3 \cdot 64$.

$d_2 = AC = \sqrt{3 \cdot 64} = 8\sqrt{3}$ см.

Треугольник $\triangle SAC$ является равнобедренным ($SA = SC$). Найдем длину бокового ребра $SA$ из прямоугольного треугольника $\triangle SOA$:

$SA^2 = SO^2 + OA^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$.

$SA = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$ см.

Для нахождения площади $\triangle SAC$ проведем в нем высоту $SK$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому $AK = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Из прямоугольного треугольника $\triangle SKA$ по теореме Пифагора найдем высоту $SK$:

$SK^2 = SA^2 - AK^2 = (8\sqrt{2})^2 - (4\sqrt{3})^2 = 128 - 16 \cdot 3 = 128 - 48 = 80$.

$SK = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см.

Площадь меньшего диагонального сечения $S_2$ равна:

$S_2 = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{5} = 16\sqrt{15}$ см$^2$.

Ответ: $16\sqrt{15}$ см$^2$.