Номер 1, страница 30 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

[?!] 1. Сколько вершин, ребер и граней имеет:

1) четырехугольная усеченная пирамида;

2) пятиугольная усеченная пирамида;

3) шестиугольная усеченная пирамида?

Для решения этой задачи воспользуемся общими формулами для $n$-угольной усеченной пирамиды. Усеченная пирамида имеет два основания (нижнее и верхнее), которые являются подобными $n$-угольниками, и боковые грани, которые являются трапециями.

Пусть в основании усеченной пирамиды лежит многоугольник с $n$ сторонами (и, соответственно, $n$ вершинами).

• Количество вершин (В): усеченная пирамида имеет $n$ вершин на нижнем основании и $n$ вершин на верхнем основании. Итого: $В = n + n = 2n$.
• Количество ребер (Р): усеченная пирамида имеет $n$ ребер на нижнем основании, $n$ ребер на верхнем основании и $n$ боковых ребер, соединяющих соответствующие вершины оснований. Итого: $Р = n + n + n = 3n$.
• Количество граней (Г): усеченная пирамида имеет 2 основания (нижнее и верхнее) и $n$ боковых граней. Итого: $Г = n + 2$.

Применим эти формулы для каждого из заданных случаев.

1) четырехугольная усеченная пирамида

В основании лежит четырехугольник, следовательно, $n = 4$.
- Количество вершин: $В = 2 \times 4 = 8$.
- Количество ребер: $Р = 3 \times 4 = 12$.
- Количество граней: $Г = 4 + 2 = 6$.
Ответ: 8 вершин, 12 ребер, 6 граней.

2) пятиугольная усеченная пирамида

В основании лежит пятиугольник, следовательно, $n = 5$.
- Количество вершин: $В = 2 \times 5 = 10$.
- Количество ребер: $Р = 3 \times 5 = 15$.
- Количество граней: $Г = 5 + 2 = 7$.
Ответ: 10 вершин, 15 ребер, 7 граней.

3) шестиугольная усеченная пирамида

В основании лежит шестиугольник, следовательно, $n = 6$.
- Количество вершин: $В = 2 \times 6 = 12$.
- Количество ребер: $Р = 3 \times 6 = 18$.
- Количество граней: $Г = 6 + 2 = 8$.
Ответ: 12 вершин, 18 ребер, 8 граней.