Страница 30 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

[?!] 1. Сколько вершин, ребер и граней имеет:

1) четырехугольная усеченная пирамида;

2) пятиугольная усеченная пирамида;

3) шестиугольная усеченная пирамида?

Для решения этой задачи воспользуемся общими формулами для $n$-угольной усеченной пирамиды. Усеченная пирамида имеет два основания (нижнее и верхнее), которые являются подобными $n$-угольниками, и боковые грани, которые являются трапециями.

Пусть в основании усеченной пирамиды лежит многоугольник с $n$ сторонами (и, соответственно, $n$ вершинами).

• Количество вершин (В): усеченная пирамида имеет $n$ вершин на нижнем основании и $n$ вершин на верхнем основании. Итого: $В = n + n = 2n$.
• Количество ребер (Р): усеченная пирамида имеет $n$ ребер на нижнем основании, $n$ ребер на верхнем основании и $n$ боковых ребер, соединяющих соответствующие вершины оснований. Итого: $Р = n + n + n = 3n$.
• Количество граней (Г): усеченная пирамида имеет 2 основания (нижнее и верхнее) и $n$ боковых граней. Итого: $Г = n + 2$.

Применим эти формулы для каждого из заданных случаев.

1) четырехугольная усеченная пирамида

В основании лежит четырехугольник, следовательно, $n = 4$.
- Количество вершин: $В = 2 \times 4 = 8$.
- Количество ребер: $Р = 3 \times 4 = 12$.
- Количество граней: $Г = 4 + 2 = 6$.
Ответ: 8 вершин, 12 ребер, 6 граней.

2) пятиугольная усеченная пирамида

В основании лежит пятиугольник, следовательно, $n = 5$.
- Количество вершин: $В = 2 \times 5 = 10$.
- Количество ребер: $Р = 3 \times 5 = 15$.
- Количество граней: $Г = 5 + 2 = 7$.
Ответ: 10 вершин, 15 ребер, 7 граней.

3) шестиугольная усеченная пирамида

В основании лежит шестиугольник, следовательно, $n = 6$.
- Количество вершин: $В = 2 \times 6 = 12$.
- Количество ребер: $Р = 3 \times 6 = 18$.
- Количество граней: $Г = 6 + 2 = 8$.
Ответ: 12 вершин, 18 ребер, 8 граней.

2. Изобразите четырехугольную, пятиугольную усеченные пирамиды и их развертки.

Усеченная пирамида — это многогранник, который является частью полной пирамиды, заключенной между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Усеченная пирамида имеет два основания, которые являются подобными многоугольниками, и боковые грани, которые являются трапециями.

Четырехугольная усеченная пирамида и ее развертка

Ниже представлено изображение правильной четырехугольной усеченной пирамиды (в основаниях лежат квадраты) и ее развертка.

Общий вид четырехугольной усеченной пирамиды:

Развертка четырехугольной усеченной пирамиды:

Ответ:

Пятиугольная усеченная пирамида и ее развертка

Ниже представлено изображение правильной пятиугольной усеченной пирамиды (в основаниях лежат правильные пятиугольники) и ее развертка.

Общий вид пятиугольной усеченной пирамиды:

Развертка пятиугольной усеченной пирамиды:

Ответ:

3. На модели правильной усеченной пирамиды выполните необходимые измерения и вычислите площади ее боковой и полной поверхностей.

Поскольку задача предполагает работу с физической моделью, для демонстрации решения мы возьмем гипотетическую правильную усеченную четырехугольную пирамиду. У такой пирамиды основаниями являются квадраты, а боковые грани — равные равнобедренные трапеции.

Для вычисления площадей нам потребуется измерить три величины: сторону нижнего основания, сторону верхнего основания и апофему (высоту боковой грани).

Предположим, что в результате измерений нашей модели мы получили следующие значения:

• Сторона нижнего основания: $a_1 = 10$ см.

• Сторона верхнего основания: $a_2 = 4$ см.

• Апофема: $h = 5$ см.

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$)

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется как произведение полусуммы периметров оснований на апофему. Периметры оснований ($P_1$ и $P_2$) для нашей квадратной пирамиды равны:

$P_1 = 4a_1 = 4 \cdot 10 = 40$ см.

$P_2 = 4a_2 = 4 \cdot 4 = 16$ см.

Формула для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h$

Подставим наши значения:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(40 + 16) \cdot 5 = \frac{1}{2} \cdot 56 \cdot 5 = 28 \cdot 5 = 140$ см$^2$.

Ответ: Площадь боковой поверхности равна $140$ см$^2$.

Площадь полной поверхности ($S_{полн}$)

Площадь полной поверхности — это сумма площади боковой поверхности и площадей двух оснований ($S_{осн1}$ и $S_{осн2}$).

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн1} + S_{осн2}$

Сначала найдем площади оснований. Так как основаниями являются квадраты, их площадь вычисляется по формуле $S = a^2$.

Площадь нижнего основания:

$S_{осн1} = a_1^2 = 10^2 = 100$ см$^2$.

Площадь верхнего основания:

$S_{осн2} = a_2^2 = 4^2 = 16$ см$^2$.

Теперь, зная все компоненты, вычислим площадь полной поверхности:

$S_{полн} = 140 + 100 + 16 = 256$ см$^2$.

Ответ: Площадь полной поверхности равна $256$ см$^2$.

4. Найдите площади боковой и полной поверхностей правильной четырехугольной усеченной пирамиды со сторонами оснований 7 см и 5 см и апофемой 2 см.

Для решения задачи нам необходимо найти площадь боковой поверхности и площади двух оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды. Это означает, что основаниями пирамиды являются квадраты, а боковые грани — четыре равные равнобедренные трапеции.

Исходные данные:
Сторона большего основания: $a = 7$ см.
Сторона меньшего основания: $b = 5$ см.
Апофема (высота боковой грани): $l = 2$ см.

Площадь боковой поверхности
Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.
Формула: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l$.
1. Находим периметр большего основания ($P_1$). Так как это квадрат со стороной $a=7$ см, то $P_1 = 4a = 4 \cdot 7 = 28$ см.
2. Находим периметр меньшего основания ($P_2$). Так как это квадрат со стороной $b=5$ см, то $P_2 = 4b = 4 \cdot 5 = 20$ см.
3. Подставляем значения в формулу:
$S_{бок} = \frac{1}{2}(28 + 20) \cdot 2 = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 2 = 48$ см².
Ответ: 48 см².

Площадь полной поверхности
Площадь полной поверхности $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади боковой поверхности и площадей двух оснований.
Формула: $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн1} + S_{осн2}$.
1. Находим площадь большего основания ($S_{осн1}$):
$S_{осн1} = a^2 = 7^2 = 49$ см².
2. Находим площадь меньшего основания ($S_{осн2}$):
$S_{осн2} = b^2 = 5^2 = 25$ см².
3. Складываем все площади:
$S_{полн} = 48 + 49 + 25 = 122$ см².
Ответ: 122 см².

5. Найдите площади боковой и полной поверхностей правильной треугольной усеченной пирамиды со сторонами оснований 10 см и 4 см и боковым ребром 5 см.

Для решения задачи нам нужно найти площадь боковой поверхности и площади двух оснований правильной треугольной усеченной пирамиды.

Нахождение площади боковой поверхности ($S_{бок}$)

Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды состоит из трех одинаковых равнобедренных трапеций. Основаниями этих трапеций являются стороны оснований пирамиды, а боковыми сторонами — боковые ребра пирамиды.

Дано:
- сторона большего основания (нижнее основание трапеции) $a_1 = 10$ см;
- сторона меньшего основания (верхнее основание трапеции) $a_2 = 4$ см;
- боковое ребро (боковая сторона трапеции) $l = 5$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S_{трап} = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h_a$, где $h_a$ — высота трапеции (также называемая апофемой усеченной пирамиды).

Чтобы найти высоту $h_a$, рассмотрим одну из боковых граней (равнобедренную трапецию). Проведем из вершин меньшего основания высоты к большему основанию. Они отсекут на большем основании отрезок, равный меньшему основанию, и два равных отрезка по бокам.

Длина каждого из этих отрезков равна полуразности оснований: $\frac{a_1 - a_2}{2} = \frac{10 - 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Теперь мы имеем прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза — это боковое ребро $l=5$ см, один катет — это отрезок на основании, равный $3$ см, а второй катет — это искомая высота трапеции $h_a$.

По теореме Пифагора:
$l^2 = h_a^2 + (\frac{a_1 - a_2}{2})^2$
$5^2 = h_a^2 + 3^2$
$25 = h_a^2 + 9$
$h_a^2 = 25 - 9 = 16$
$h_a = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь можем найти площадь одной боковой грани (трапеции):
$S_{трап} = \frac{10 + 4}{2} \cdot 4 = \frac{14}{2} \cdot 4 = 7 \cdot 4 = 28$ см².

Поскольку боковая поверхность состоит из трех таких трапеций, ее площадь равна:
$S_{бок} = 3 \cdot S_{трап} = 3 \cdot 28 = 84$ см².

Ответ: Площадь боковой поверхности равна $84$ см².

Нахождение площади полной поверхности ($S_{полн}$)

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площадей двух ее оснований:
$S_{полн} = S_{бок} + S_1 + S_2$, где $S_1$ — площадь большего основания, а $S_2$ — площадь меньшего основания.

Основаниями являются правильные (равносторонние) треугольники. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

1. Найдем площадь большего основания ($S_1$) со стороной $a_1 = 10$ см:
$S_1 = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}$ см².

2. Найдем площадь меньшего основания ($S_2$) со стороной $a_2 = 4$ см:
$S_2 = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ см².

3. Теперь вычислим площадь полной поверхности:
$S_{полн} = S_{бок} + S_1 + S_2 = 84 + 25\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 84 + (25+4)\sqrt{3} = 84 + 29\sqrt{3}$ см².

Ответ: Площадь полной поверхности равна $84 + 29\sqrt{3}$ см².

6. Сторона верхнего основания правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 1 см, а сторона нижнего основания в пять раз больше стороны верхнего основания. Площадь боковой поверхности пирамиды равна $24\sqrt{2} \text{ см}^2$. Найдите апофему и высоту усеченной пирамиды.

Нахождение апофемы
Дана правильная четырехугольная усеченная пирамида. Сторона ее верхнего основания $a_1 = 1$ см. Сторона нижнего основания $a_2$ в пять раз больше, следовательно, $a_2 = 5 \cdot 1 = 5$ см. Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок} = 24\sqrt{2}$ см². Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды находится по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $l$ — апофема пирамиды (высота боковой грани). Так как основания являются квадратами, их периметры равны: $P_1 = 4a_1 = 4 \cdot 1 = 4$ см. $P_2 = 4a_2 = 4 \cdot 5 = 20$ см. Подставим известные значения в формулу площади и найдем апофему $l$:
$24\sqrt{2} = \frac{1}{2}(4 + 20) \cdot l$
$24\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot l$
$24\sqrt{2} = 12l$
$l = \frac{24\sqrt{2}}{12} = 2\sqrt{2}$ см.
Ответ: апофема равна $2\sqrt{2}$ см.

Нахождение высоты
Высоту усеченной пирамиды $h$ можно найти из прямоугольного треугольника. Этот треугольник образуют высота пирамиды $h$ (катет), апофема $l$ (гипотенуза) и отрезок, соединяющий основания высоты и апофемы (второй катет). Длина второго катета равна полуразности сторон оснований: $\frac{a_2 - a_1}{2}$. Вычислим длину этого катета: $\frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см. Геометрическое соотношение этих элементов показано на рисунке (в осевом сечении пирамиды, проходящем через апофемы):

По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + \left(\frac{a_2 - a_1}{2}\right)^2$. Подставим найденные значения $l = 2\sqrt{2}$ см и $\frac{a_2 - a_1}{2} = 2$ см:
$(2\sqrt{2})^2 = h^2 + 2^2$
$8 = h^2 + 4$
$h^2 = 8 - 4 = 4$
$h = \sqrt{4} = 2$ см.
Ответ: высота равна 2 см.