Страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

4. Могут ли гранью правильного многогранника быть треугольник, четырехугольник, пятиугольник?

Да, гранью правильного многогранника может быть и треугольник, и четырехугольник, и пятиугольник. Чтобы это доказать, необходимо рассмотреть каждый случай отдельно, опираясь на определение правильного многогранника.

Правильный многогранник — это выпуклый многогранник, у которого все грани являются одинаковыми правильными многоугольниками, и в каждой его вершине сходится одинаковое число граней. Важнейшее свойство, которое позволяет определить все возможные типы правильных многогранников, заключается в том, что сумма плоских углов всех граней, сходящихся в одной вершине, должна быть строго меньше $360^\circ$.

Если грань — правильный (равносторонний) треугольник, то ее внутренний угол равен $60^\circ$. Пусть в каждой вершине многогранника сходится $k$ треугольных граней. Тогда сумма углов при вершине будет равна $k \cdot 60^\circ$.

Для существования многогранной вершины необходимо, чтобы $k \cdot 60^\circ < 360^\circ$, что равносильно $k < 6$. Также в одной вершине должно сходиться не менее трех граней, то есть $k \ge 3$.

Следовательно, для $k$ возможны следующие целые значения:

• $k=3$: Сумма углов $3 \cdot 60^\circ = 180^\circ < 360^\circ$. Такой многогранник существует — это правильный тетраэдр, имеющий 4 грани.
• $k=4$: Сумма углов $4 \cdot 60^\circ = 240^\circ < 360^\circ$. Такой многогранник существует — это правильный октаэдр, имеющий 8 граней.
• $k=5$: Сумма углов $5 \cdot 60^\circ = 300^\circ < 360^\circ$. Такой многогранник существует — это правильный икосаэдр, имеющий 20 граней.

Если $k=6$, то сумма углов равна $360^\circ$, что соответствует покрытию плоскости без зазоров, а не формированию объемной вершины.

Ответ: Да, может. Существует три правильных многогранника с треугольными гранями: тетраэдр, октаэдр и икосаэдр.

Если грань — правильный четырехугольник (квадрат), то ее внутренний угол равен $90^\circ$. Пусть в каждой вершине сходится $k$ квадратных граней. Сумма углов при вершине составит $k \cdot 90^\circ$.

Условие $k \cdot 90^\circ < 360^\circ$ приводит к неравенству $k < 4$. С учетом того, что $k \ge 3$, единственно возможное целое значение для $k$ — это 3.

• $k=3$: Сумма углов $3 \cdot 90^\circ = 270^\circ < 360^\circ$. Такой многогранник существует — это куб (правильный гексаэдр), имеющий 6 граней.

Если $k=4$, сумма углов равна $360^\circ$, что также соответствует замощению плоскости.

Ответ: Да, может. Существует один правильный многогранник с квадратными гранями — куб.

Если грань — правильный пятиугольник, то ее внутренний угол равен $\frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ$. Пусть в каждой вершине сходится $k$ пятиугольных граней. Сумма углов при вершине будет $k \cdot 108^\circ$.

Условие $k \cdot 108^\circ < 360^\circ$ дает нам $k < \frac{360}{108} \approx 3.33$. Так как $k \ge 3$, единственным возможным целым значением для $k$ является 3.

• $k=3$: Сумма углов $3 \cdot 108^\circ = 324^\circ < 360^\circ$. Такой многогранник существует — это правильный додекаэдр, имеющий 12 граней.

Если $k=4$, сумма углов $4 \cdot 108^\circ = 432^\circ$ была бы больше $360^\circ$, что невозможно для выпуклого многогранника.

Ответ: Да, может. Существует один правильный многогранник с пятиугольными гранями — додекаэдр.

Стоит отметить, что для правильных многоугольников с большим числом сторон (начиная с шестиугольника, у которого внутренний угол равен $120^\circ$) сумма углов при вершине даже для минимально возможного числа граней ($k=3$) будет равна или превышать $360^\circ$ ($3 \cdot 120^\circ = 360^\circ$). Поэтому других правильных многогранников, кроме пяти перечисленных (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр), не существует.

5. Можно ли считать правильную четырехугольную пирамиду правильным многогранником?

Чтобы многогранник считался правильным (или Платоновым телом), он должен удовлетворять двум строгим условиям:
1. Все его грани должны быть конгруэнтными (равными) правильными многоугольниками.
2. В каждой его вершине должно сходиться одинаковое число граней (то есть все многогранные углы при вершинах должны быть равны).

Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду. По определению, в ее основании лежит правильный многоугольник (в данном случае — квадрат), а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Проверим, выполняются ли для нее условия правильного многогранника:

1. Условие о гранях. Грани правильной четырехугольной пирамиды — это один квадрат и четыре треугольника. Квадрат и треугольник не являются конгруэнтными фигурами. Следовательно, первое условие не выполняется.

2. Условие о вершинах. У пирамиды есть два типа вершин. В вершине пирамиды (апексе) сходятся четыре боковые грани (четыре треугольника). В каждой из четырех вершин основания сходятся три грани: одна грань основания (квадрат) и две боковые грани (два треугольника). Так как в разных вершинах сходится разное число граней, многогранные углы при них не равны. Следовательно, второе условие также не выполняется.

Поскольку ни одно из обязательных условий не выполняется, правильная четырехугольная пирамида не может считаться правильным многогранником.

Ответ: Нет, считать правильную четырехугольную пирамиду правильным многогранником нельзя. Это связано с тем, что ее грани не являются конгруэнтными друг другу (основание — квадрат, а боковые грани — треугольники), а также многогранные углы при ее вершинах не равны.

6. Какая фигура получится, если от каждой вершины тетраэдра высотой 2 единицы отсечь плоскостью на расстоянии 1 единицы?

Рассмотрим исходный тетраэдр. Пусть его высота из любой вершины на противоположную грань равна $H=2$ единицы. От каждой из четырех вершин тетраэдра плоскостью отсекается меньший тетраэдр. Эта плоскость, по условию, находится на расстоянии $d=1$ единица от вершины. Расстояние измеряется вдоль высоты, опущенной из этой вершины.

Таким образом, отсекающая плоскость для каждой вершины параллельна противоположной ей грани. Маленький отсеченный тетраэдр подобен исходному большому тетраэдру. Коэффициент подобия $k$ можно найти как отношение их высот:

$k = \frac{d}{H} = \frac{1}{2}$

Поскольку коэффициент подобия равен $1/2$, отсекающая плоскость пересекает ребра, выходящие из данной вершины, ровно посередине. Следовательно, вершинами новой фигуры, которая останется после отсечения всех четырех углов, будут середины шести ребер исходного тетраэдра.

Проанализируем получившуюся фигуру:

• Вершины: Фигура имеет 6 вершин, которые являются серединами 6 ребер исходного тетраэдра.
• Грани: Фигура имеет 8 граней.
  • Четыре грани образовались на месте срезов у каждой из 4 вершин тетраэдра. Каждая такая грань — это треугольник, соединяющий середины трех ребер, выходящих из одной вершины.
  • Другие четыре грани являются центральными частями исходных 4 граней тетраэдра. Каждая из них — это также треугольник, соединяющий середины трех ребер, образующих исходную грань.

Многогранник с 8 треугольными гранями, 6 вершинами и 12 ребрами называется октаэдром. Стоит отметить, что если исходный тетраэдр был правильным (все ребра равны), то получившийся октаэдр также будет правильным (все грани — равные равносторонние треугольники). В общем случае получится неправильный октаэдр.

Ответ: Октаэдр.

7. Из каких двух четырехугольных пирамид можно составить октаэдр?

Октаэдр, а точнее правильный октаэдр, является одним из пяти Платоновых тел. Он представляет собой многогранник, состоящий из восьми граней, которые являются равносторонними треугольниками. Геометрически правильный октаэдр можно рассматривать как две одинаковые четырехугольные пирамиды, которые соединены своими основаниями.

Чтобы понять, какими должны быть эти пирамиды, представим, что мы рассекаем октаэдр плоскостью, проходящей через четыре его вершины, которые образуют квадрат. Эта плоскость делит октаэдр на две симметричные части. Каждая из этих частей и является четырехугольной пирамидой.

Для того чтобы из двух четырехугольных пирамид можно было составить правильный октаэдр, они должны быть правильными четырехугольными пирамидами, обладающими следующим свойством: все их ребра должны быть одинаковой длины. Пусть длина ребра равна $a$.

В этом случае:
1. Основанием каждой пирамиды является квадрат со стороной $a$.
2. Боковые ребра каждой пирамиды также имеют длину $a$.
3. Следовательно, боковые грани каждой пирамиды являются равносторонними треугольниками со стороной $a$.

Когда две такие идентичные пирамиды прикладывают друг к другу их квадратными основаниями, боковые грани восьми равносторонних треугольников образуют поверхность правильного октаэдра.

Ответ: Октаэдр можно составить из двух одинаковых (конгруэнтных) правильных четырехугольных пирамид, у которых все ребра, то есть и ребра основания, и боковые ребра, равны между собой.

8. Постройте развертку октаэдра, ребро которого 2 см.

Построение развертки октаэдра

Октаэдр — это правильный многогранник, у которого 8 граней, и каждая грань представляет собой равносторонний треугольник. Развертка октаэдра — это плоская фигура, состоящая из 8 таких треугольников, которую можно согнуть и склеить, чтобы получить объемную модель октаэдра. В данном случае длина ребра (стороны каждого треугольника) равна 2 см.

Для построения развертки вам понадобятся: линейка, циркуль и карандаш. Существует 11 различных видов разверток октаэдра. Ниже представлен один из самых простых для построения вариантов — зигзагообразная полоса.

Пошаговая инструкция:

1. В основе построения лежит равносторонний треугольник со стороной $a = 2$ см.

2. Начертите на листе бумаги первый равносторонний треугольник. Для этого:
а) Проведите отрезок AB длиной 2 см.
б) Установите раствор циркуля равным 2 см.
в) Проведите дугу с центром в точке A, а затем дугу с центром в точке B.
г) Точку пересечения дуг обозначьте как C. Соедините точки A, B и C. Треугольник ABC — первая грань.

3. Теперь к одной из сторон полученного треугольника, например к стороне BC, пристройте второй такой же равносторонний треугольник BCD.

4. К одной из свободных сторон второго треугольника (например, к стороне CD) пристройте третий треугольник CDE.

5. Продолжайте последовательно пристраивать треугольники один к другому, пока у вас не получится полоса из 8 равносторонних треугольников. Чтобы развертка была более компактной и удобной для сворачивания, можно располагать треугольники в виде зигзага, как показано на рисунке ниже.

Ниже приведен один из возможных вариантов развертки октаэдра с ребром 2 см. Все отрезки (как внешние, так и внутренние) на чертеже имеют длину 2 см.

Вырезав такую фигуру по внешнему контуру и согнув по внутренним линиям, можно склеить модель октаэдра.

Ответ: Построение развертки выполнено согласно инструкции и представлено на рисунке выше. Развертка состоит из 8 соединенных равносторонних треугольников со стороной 2 см.

9. Изготовьте макеты правильных многогранников с помощью их разверток.

Правильные многогранники, также известные как Платоновы тела, – это выпуклые многогранники, у которых все грани являются одинаковыми правильными многоугольниками, и в каждой вершине сходится одинаковое число ребер. Существует всего пять таких тел. Для изготовления их макетов необходимо начертить на плотном листе бумаги или картона соответствующую развертку, вырезать ее и склеить.

Общая инструкция по изготовлению макета:
1. Начертите или распечатайте развертку многогранника на листе бумаги или картона. Пунктирными линиями обычно обозначают линии сгиба, а сплошными – линии разреза.
2. Аккуратно вырежьте развертку по сплошным контурным линиям. Не забудьте вырезать клапаны для склейки (небольшие трапециевидные или прямоугольные выступы на некоторых ребрах).
3. Согните развертку по всем пунктирным линиям. Для более ровного сгиба можно предварительно продавить эти линии тупым концом ножниц или непишущей ручкой, используя линейку.
4. Нанесите клей на клапаны для склейки и последовательно соединяйте грани, формируя объемную фигуру.
5. Дайте клею высохнуть. Макет готов.

Ниже представлены развертки для каждого из пяти правильных многогранников.

Тетраэдр

Тетраэдр – это многогранник, состоящий из четырех треугольных граней. Все грани являются правильными (равносторонними) треугольниками. У него 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Для любого выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера: $В - Р + Г = 2$, где $В$ – число вершин, $Р$ – число ребер, а $Г$ – число граней. Для тетраэдра: $4 - 6 + 4 = 2$.

Развертка тетраэдра состоит из четырех равносторонних треугольников. Для сборки вырежьте фигуру по сплошным линиям, согните по пунктирным и склейте, используя клапаны.

Ответ: Макет тетраэдра, изготовленный из развертки.

Куб (гексаэдр)

Куб – это многогранник, состоящий из шести квадратных граней. У него 6 граней, 8 вершин и 12 ребер. Для куба формула Эйлера выглядит так: $8 - 12 + 6 = 2$.

Развертка куба состоит из шести квадратов. Самая распространенная форма развертки – крестообразная. Вырежьте ее, согните по линиям и склейте.

Ответ: Макет куба, изготовленный из развертки.

Октаэдр

Октаэдр – это многогранник, состоящий из восьми треугольных граней. Все грани – равносторонние треугольники. У него 8 граней, 6 вершин и 12 ребер. Формула Эйлера: $6 - 12 + 8 = 2$.

Развертка октаэдра состоит из восьми равносторонних треугольников. Вырежьте фигуру, согните и склейте для получения модели октаэдра.

Ответ: Макет октаэдра, изготовленный из развертки.

Додекаэдр

Додекаэдр – это многогранник, состоящий из двенадцати пятиугольных граней. Все грани – правильные пятиугольники. У него 12 граней, 20 вершин и 30 ребер. Формула Эйлера: $20 - 30 + 12 = 2$.

Развертка додекаэдра состоит из двенадцати правильных пятиугольников. Сборка этой модели требует большей аккуратности из-за большого количества граней.

Ответ: Макет додекаэдра, изготовленный из развертки.

Икосаэдр

Икосаэдр – это многогранник, состоящий из двадцати треугольных граней. Все грани – равносторонние треугольники. У него 20 граней, 12 вершин и 30 ребер. Формула Эйлера: $12 - 30 + 20 = 2$.

Развертка икосаэдра состоит из двадцати равносторонних треугольников. Это самая сложная в сборке модель из-за большого числа мелких граней.

Ответ: Макет икосаэдра, изготовленный из развертки.