Номер 6, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

6. Какая фигура получится, если от каждой вершины тетраэдра высотой 2 единицы отсечь плоскостью на расстоянии 1 единицы?

Рассмотрим исходный тетраэдр. Пусть его высота из любой вершины на противоположную грань равна $H=2$ единицы. От каждой из четырех вершин тетраэдра плоскостью отсекается меньший тетраэдр. Эта плоскость, по условию, находится на расстоянии $d=1$ единица от вершины. Расстояние измеряется вдоль высоты, опущенной из этой вершины.

Таким образом, отсекающая плоскость для каждой вершины параллельна противоположной ей грани. Маленький отсеченный тетраэдр подобен исходному большому тетраэдру. Коэффициент подобия $k$ можно найти как отношение их высот:

$k = \frac{d}{H} = \frac{1}{2}$

Поскольку коэффициент подобия равен $1/2$, отсекающая плоскость пересекает ребра, выходящие из данной вершины, ровно посередине. Следовательно, вершинами новой фигуры, которая останется после отсечения всех четырех углов, будут середины шести ребер исходного тетраэдра.

Проанализируем получившуюся фигуру:

• Вершины: Фигура имеет 6 вершин, которые являются серединами 6 ребер исходного тетраэдра.
• Грани: Фигура имеет 8 граней.
  • Четыре грани образовались на месте срезов у каждой из 4 вершин тетраэдра. Каждая такая грань — это треугольник, соединяющий середины трех ребер, выходящих из одной вершины.
  • Другие четыре грани являются центральными частями исходных 4 граней тетраэдра. Каждая из них — это также треугольник, соединяющий середины трех ребер, образующих исходную грань.

Многогранник с 8 треугольными гранями, 6 вершинами и 12 ребрами называется октаэдром. Стоит отметить, что если исходный тетраэдр был правильным (все ребра равны), то получившийся октаэдр также будет правильным (все грани — равные равносторонние треугольники). В общем случае получится неправильный октаэдр.

Ответ: Октаэдр.