Номер 2, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

2. Какими фигурами могут быть грани правильных многогранников?

Правильный многогранник (также называемый Платоновым телом) — это выпуклый многогранник, который удовлетворяет двум условиям:
1. Все его грани являются равными (конгруэнтными) правильными многоугольниками.
2. В каждой его вершине сходится одинаковое число граней.

Для того чтобы из плоских многоугольников можно было составить выпуклый многогранный угол в вершине, необходимо, чтобы сумма плоских углов этих многоугольников, сходящихся в одной вершине, была меньше $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан). Если сумма равна $360^\circ$, то грани расположатся в одной плоскости (создадут плоскую мозаику). Если больше $360^\circ$, то они не смогут сойтись в одной вершине без наложения.

Пусть грань — это правильный $n$-угольник, а в каждой вершине сходится $k$ граней. Минимальное число граней, образующих вершину, равно 3, то есть $k \ge 3$.

Величина внутреннего угла $\alpha_n$ правильного $n$-угольника вычисляется по формуле:
$\alpha_n = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

Основное условие для существования правильного многогранника можно записать в виде неравенства:
$k \cdot \alpha_n < 360^\circ$

Рассмотрим возможные типы граней (правильные многоугольники) по порядку:

Равносторонний треугольник ($n=3$)
Угол равен $\alpha_3 = \frac{(3-2) \cdot 180^\circ}{3} = 60^\circ$.
Подставляем в неравенство: $k \cdot 60^\circ < 360^\circ$, откуда $k < 6$.
С учётом того, что $k \ge 3$, возможны следующие случаи:
• $k=3$: в вершине сходятся 3 треугольника ($3 \cdot 60^\circ = 180^\circ < 360^\circ$). Это тетраэдр.
• $k=4$: в вершине сходятся 4 треугольника ($4 \cdot 60^\circ = 240^\circ < 360^\circ$). Это октаэдр.
• $k=5$: в вершине сходятся 5 треугольников ($5 \cdot 60^\circ = 300^\circ < 360^\circ$). Это икосаэдр.
Таким образом, равносторонний треугольник может быть гранью правильного многогранника.

Квадрат ($n=4$)
Угол равен $\alpha_4 = \frac{(4-2) \cdot 180^\circ}{4} = 90^\circ$.
Подставляем в неравенство: $k \cdot 90^\circ < 360^\circ$, откуда $k < 4$.
Единственное возможное целое значение — $k=3$.
• $k=3$: в вершине сходятся 3 квадрата ($3 \cdot 90^\circ = 270^\circ < 360^\circ$). Это куб (гексаэдр).
Таким образом, квадрат может быть гранью правильного многогранника.

Правильный пятиугольник ($n=5$)
Угол равен $\alpha_5 = \frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ$.
Подставляем в неравенство: $k \cdot 108^\circ < 360^\circ$, откуда $k < \frac{360}{108} \approx 3.33$.
Единственное возможное целое значение — $k=3$.
• $k=3$: в вершине сходятся 3 правильных пятиугольника ($3 \cdot 108^\circ = 324^\circ < 360^\circ$). Это додекаэдр.
Таким образом, правильный пятиугольник может быть гранью правильного многогранника.

Правильный шестиугольник ($n=6$)
Угол равен $\alpha_6 = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$.
Подставляем в неравенство: $k \cdot 120^\circ < 360^\circ$, откуда $k < 3$.
Поскольку $k$ должно быть целым числом и $k \ge 3$, решений нет. Три шестиугольника, сходящиеся в одной точке, образуют сумму углов $3 \cdot 120^\circ = 360^\circ$, что приводит к плоскому покрытию (паркету), а не к объемной фигуре.

Правильные многоугольники с числом сторон $n > 6$
Внутренний угол правильного $n$-угольника $\alpha_n$ увеличивается с ростом $n$. Уже для шестиугольника угол равен $120^\circ$. Для любого многоугольника с $n > 6$ угол будет еще больше.
Следовательно, сумма даже трех таких углов ($k=3$ — минимально возможное значение) будет больше $360^\circ$:
$3 \cdot \alpha_n > 3 \cdot 120^\circ = 360^\circ$.
Это означает, что правильные многоугольники с 6 или более сторонами не могут быть гранями правильного многогранника.

Из проведенного анализа следует, что гранями правильных многогранников могут быть только три типа фигур.

Ответ: Гранями правильных многогранников могут быть только равносторонние треугольники, квадраты и правильные пятиугольники.