Номер 4, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

4. Могут ли гранью правильного многогранника быть треугольник, четырехугольник, пятиугольник?

Да, гранью правильного многогранника может быть и треугольник, и четырехугольник, и пятиугольник. Чтобы это доказать, необходимо рассмотреть каждый случай отдельно, опираясь на определение правильного многогранника.

Правильный многогранник — это выпуклый многогранник, у которого все грани являются одинаковыми правильными многоугольниками, и в каждой его вершине сходится одинаковое число граней. Важнейшее свойство, которое позволяет определить все возможные типы правильных многогранников, заключается в том, что сумма плоских углов всех граней, сходящихся в одной вершине, должна быть строго меньше $360^\circ$.

Если грань — правильный (равносторонний) треугольник, то ее внутренний угол равен $60^\circ$. Пусть в каждой вершине многогранника сходится $k$ треугольных граней. Тогда сумма углов при вершине будет равна $k \cdot 60^\circ$.

Для существования многогранной вершины необходимо, чтобы $k \cdot 60^\circ < 360^\circ$, что равносильно $k < 6$. Также в одной вершине должно сходиться не менее трех граней, то есть $k \ge 3$.

Следовательно, для $k$ возможны следующие целые значения:

• $k=3$: Сумма углов $3 \cdot 60^\circ = 180^\circ < 360^\circ$. Такой многогранник существует — это правильный тетраэдр, имеющий 4 грани.
• $k=4$: Сумма углов $4 \cdot 60^\circ = 240^\circ < 360^\circ$. Такой многогранник существует — это правильный октаэдр, имеющий 8 граней.
• $k=5$: Сумма углов $5 \cdot 60^\circ = 300^\circ < 360^\circ$. Такой многогранник существует — это правильный икосаэдр, имеющий 20 граней.

Если $k=6$, то сумма углов равна $360^\circ$, что соответствует покрытию плоскости без зазоров, а не формированию объемной вершины.

Ответ: Да, может. Существует три правильных многогранника с треугольными гранями: тетраэдр, октаэдр и икосаэдр.

Если грань — правильный четырехугольник (квадрат), то ее внутренний угол равен $90^\circ$. Пусть в каждой вершине сходится $k$ квадратных граней. Сумма углов при вершине составит $k \cdot 90^\circ$.

Условие $k \cdot 90^\circ < 360^\circ$ приводит к неравенству $k < 4$. С учетом того, что $k \ge 3$, единственно возможное целое значение для $k$ — это 3.

• $k=3$: Сумма углов $3 \cdot 90^\circ = 270^\circ < 360^\circ$. Такой многогранник существует — это куб (правильный гексаэдр), имеющий 6 граней.

Если $k=4$, сумма углов равна $360^\circ$, что также соответствует замощению плоскости.

Ответ: Да, может. Существует один правильный многогранник с квадратными гранями — куб.

Если грань — правильный пятиугольник, то ее внутренний угол равен $\frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ$. Пусть в каждой вершине сходится $k$ пятиугольных граней. Сумма углов при вершине будет $k \cdot 108^\circ$.

Условие $k \cdot 108^\circ < 360^\circ$ дает нам $k < \frac{360}{108} \approx 3.33$. Так как $k \ge 3$, единственным возможным целым значением для $k$ является 3.

• $k=3$: Сумма углов $3 \cdot 108^\circ = 324^\circ < 360^\circ$. Такой многогранник существует — это правильный додекаэдр, имеющий 12 граней.

Если $k=4$, сумма углов $4 \cdot 108^\circ = 432^\circ$ была бы больше $360^\circ$, что невозможно для выпуклого многогранника.

Ответ: Да, может. Существует один правильный многогранник с пятиугольными гранями — додекаэдр.

Стоит отметить, что для правильных многоугольников с большим числом сторон (начиная с шестиугольника, у которого внутренний угол равен $120^\circ$) сумма углов при вершине даже для минимально возможного числа граней ($k=3$) будет равна или превышать $360^\circ$ ($3 \cdot 120^\circ = 360^\circ$). Поэтому других правильных многогранников, кроме пяти перечисленных (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр), не существует.