Номер 1, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

1. Диаметр основания цилиндра равен 12 см, высота – 20 см. Рассмотрим точки на боковой поверхности, удаленные от центра нижнего основания на расстояние 10 см. На какой высоте они находятся? Сколько их? Какую фигуру они образуют?

Даны параметры цилиндра:
Диаметр основания $d = 12$ см.
Высота цилиндра $H = 20$ см.
Расстояние от центра нижнего основания до искомых точек на боковой поверхности $L = 10$ см.

Сначала найдем радиус основания цилиндра:
$r = d / 2 = 12 / 2 = 6$ см.

Рассмотрим произвольную точку $P$ на боковой поверхности цилиндра, которая удалена от центра нижнего основания $O$ на расстояние $L = 10$ см. Пусть $h$ — высота точки $P$ над нижним основанием. Если мы рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус основания $r$ и высота $h$, то гипотенузой будет как раз расстояние $L$ от центра нижнего основания до точки $P$ на боковой поверхности.

Это можно представить на схеме осевого сечения, где $O$ — центр основания, $A$ — точка на оси цилиндра на высоте $h$, а $P$ — точка на боковой поверхности. Треугольник $OAP$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $A$.

На какой высоте они находятся?

Для нахождения высоты $h$ воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника $OAP$: $OA^2 + AP^2 = OP^2$.
Подставим известные значения:
$h^2 + r^2 = L^2$
$h^2 + 6^2 = 10^2$
$h^2 + 36 = 100$
$h^2 = 100 - 36$
$h^2 = 64$
$h = \sqrt{64} = 8$ см.
Найденная высота $h=8$ см меньше общей высоты цилиндра $H=20$ см, значит, такие точки действительно существуют на боковой поверхности данного цилиндра.
Ответ: Точки находятся на высоте 8 см от нижнего основания.

Сколько их?

Условию удовлетворяют все точки боковой поверхности, находящиеся на высоте $h=8$ см. Множество таких точек образует линию на поверхности цилиндра. Поскольку эта линия является окружностью, а окружность состоит из бесконечного числа точек, то искомых точек бесконечно много.
Ответ: Таких точек бесконечно много.

Какую фигуру они образуют?

Совокупность всех точек, расположенных на боковой поверхности цилиндра на одинаковом расстоянии от основания, образует окружность. Эта окружность лежит в плоскости, параллельной основаниям цилиндра, и находится на высоте $h = 8$ см. Радиус этой окружности равен радиусу основания цилиндра, то есть $r = 6$ см, а ее центр лежит на оси цилиндра.
Ответ: Эти точки образуют окружность радиусом 6 см, которая расположена на высоте 8 см от нижнего основания и параллельна ему.