Номер 8, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

8. Дан цилиндр с радиусом 2 см и высотой 4 см. Параллельно его оси проводится сечение на расстоянии 1 см от оси. Найдите площадь и периметр сечения (рис.73).

Рис. 73

Согласно условию задачи, дан цилиндр с радиусом основания $R = 2$ см и высотой $H = 4$ см. Сечение проводится параллельно оси цилиндра на расстоянии $d = 1$ см от нее.

Такое сечение представляет собой прямоугольник. Одна из его сторон равна высоте цилиндра, а другая — хорде окружности основания.

Высота прямоугольника сечения: $h = H = 4$ см.

Для нахождения ширины сечения $w$ рассмотрим вид сверху на основание цилиндра. Ширина сечения — это хорда $KM$.

На рисунке показан круг основания с центром $O$. $OK$ и $OM$ — радиусы, $OK = OM = R = 2$ см. Отрезок $KM$ — хорда, соответствующая ширине сечения. $OE$ — перпендикуляр, опущенный из центра на хорду, его длина равна расстоянию от оси до сечения, $OE = d = 1$ см.

Треугольник $\triangle OKM$ является равнобедренным. Высота $OE$ в нем также является медианой, поэтому делит хорду $KM$ пополам: $KE = EM$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OEK$. По теореме Пифагора, $OK^2 = OE^2 + KE^2$. Отсюда можем найти длину катета $KE$:
$KE = \sqrt{OK^2 - OE^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$ см.

Длина всей хорды $KM$, которая является шириной сечения $w$, равна:
$w = KM = 2 \cdot KE = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная обе стороны прямоугольника ($h=4$ см и $w=2\sqrt{3}$ см), мы можем найти его площадь и периметр.

Площадь сечения

Площадь $S$ прямоугольного сечения вычисляется как произведение его сторон:
$S = w \cdot h = 2\sqrt{3} \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 8\sqrt{3} \text{ см}^2$.
Ответ: $8\sqrt{3}$ см$^2$.

Периметр сечения

Периметр $P$ прямоугольного сечения вычисляется как удвоенная сумма его смежных сторон:
$P = 2(w + h) = 2(2\sqrt{3} + 4) = 4\sqrt{3} + 8$ см.
Ответ: $8 + 4\sqrt{3}$ см.