Номер 2, страница 45 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

2. Может ли осевым сечением конуса быть прямоугольный треугольник?

Да, осевое сечение конуса может быть прямоугольным треугольником.

Осевое сечение конуса — это сечение, которое проходит через его ось. Такое сечение всегда является равнобедренным треугольником. Боковыми сторонами этого треугольника являются образующие конуса, а основанием — диаметр основания конуса.

Для того чтобы равнобедренный треугольник был одновременно и прямоугольным, один из его углов должен быть равен $90^\circ$.

Рассмотрим возможные варианты:

1. Прямой угол находится при основании треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если один из них равен $90^\circ$, то и второй должен быть равен $90^\circ$. В этом случае сумма углов треугольника превысит $180^\circ$ ($90^\circ + 90^\circ + \alpha > 180^\circ$), что геометрически невозможно.

2. Прямой угол находится при вершине треугольника, противолежащей основанию (то есть, в вершине конуса). Этот угол образован двумя образующими. Если он равен $90^\circ$, то два других угла (при основании) будут равны $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$. Такая конфигурация вполне возможна.

В таком конусе осевое сечение $\triangle PAB$ — это равнобедренный прямоугольный треугольник. Его катетами являются образующие конуса ($PA$ и $PB$), а гипотенузой — диаметр основания ($AB = 2r$). Высота конуса $PO=h$ является также высотой и медианой этого треугольника.

Рассмотрим треугольник $\triangle POA$. Он прямоугольный (так как $PO$ — высота), а угол $\angle OAP = 45^\circ$. Следовательно, третий угол $\angle APO$ также равен $45^\circ$ ($90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$). Это значит, что $\triangle POA$ является равнобедренным, и его катеты равны: $PO = OA$.

Таким образом, высота конуса $h$ должна быть равна радиусу его основания $r$.

Ответ: Да, может. Это происходит в том случае, когда осевое сечение является равнобедренным прямоугольным треугольником, у которого прямой угол находится в вершине конуса. Такое условие выполняется, когда высота конуса равна радиусу его основания ($h=r$).