Номер 10, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

10. Радиус основания и высота цилиндра равны 5 см. В цилиндре проведены два сечения, параллельные между собой и параллельные оси. Площади этих сечений 40 см² и 30 см². Найдите расстояние между сечениями.

По условию задачи, радиус основания цилиндра $R = 5$ см, а высота $H = 5$ см. В цилиндре проведены два сечения, параллельные его оси. Эти сечения представляют собой прямоугольники, высота которых равна высоте цилиндра $H$, а ширина — длине хорд в основании цилиндра.

Пусть площади сечений равны $S_1 = 40 \text{ см}^2$ и $S_2 = 30 \text{ см}^2$. Пусть $a_1$ и $a_2$ — ширины этих сечений (длины хорд в основании).

Площадь прямоугольного сечения вычисляется по формуле $S = a \cdot H$. Найдем ширину каждого сечения:

Для первого сечения: $a_1 = \frac{S_1}{H} = \frac{40}{5} = 8$ см.

Для второго сечения: $a_2 = \frac{S_2}{H} = \frac{30}{5} = 6$ см.

Теперь рассмотрим основание цилиндра — круг с радиусом $R = 5$ см. Хорды $a_1 = 8$ см и $a_2 = 6$ см находятся на некотором расстоянии от центра круга. Это расстояние и есть расстояние от оси цилиндра до соответствующего сечения. Обозначим эти расстояния $d_1$ и $d_2$.

Для нахождения расстояний $d_1$ и $d_2$ воспользуемся теоремой Пифагора. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом (гипотенуза), половиной хорды (катет) и расстоянием от центра до хорды (второй катет), выполняется соотношение: $d = \sqrt{R^2 - (\frac{a}{2})^2}$.

Найдем расстояние $d_1$ от оси до сечения с площадью $40 \text{ см}^2$ (хорда $a_1 = 8$ см):

$d_1 = \sqrt{R^2 - (\frac{a_1}{2})^2} = \sqrt{5^2 - (\frac{8}{2})^2} = \sqrt{25 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ см.

Найдем расстояние $d_2$ от оси до сечения с площадью $30 \text{ см}^2$ (хорда $a_2 = 6$ см):

$d_2 = \sqrt{R^2 - (\frac{a_2}{2})^2} = \sqrt{5^2 - (\frac{6}{2})^2} = \sqrt{25 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.

Расстояние между сечениями — это расстояние между соответствующими хордами в плоскости основания. Поскольку сечения параллельны, возможны два случая их расположения относительно оси цилиндра, как показано на рисунке.

Случай 1: Сечения расположены по разные стороны от оси цилиндра.

В этом случае расстояние между сечениями равно сумме расстояний от оси до каждого из сечений:

$d = d_1 + d_2 = 3 + 4 = 7$ см.

Случай 2: Сечения расположены по одну сторону от оси цилиндра.

В этом случае расстояние между сечениями равно разности расстояний от оси до каждого из сечений:

$d = |d_2 - d_1| = |4 - 3| = 1$ см.

Поскольку в условии задачи не указано расположение сечений относительно оси, задача имеет два возможных решения.

Ответ: Расстояние между сечениями равно 1 см или 7 см.