Номер 9, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

9. Высота цилиндра 16 см, радиус 10 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и отстоящей от нее на 6 см.

По условию задачи, высота цилиндра $H = 16$ см, а радиус его основания $R = 10$ см. Необходимо найти площадь сечения, которое параллельно оси цилиндра и находится на расстоянии $d = 6$ см от нее.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а другая - длине хорды $a$ в основании цилиндра, которую отсекает секущая плоскость.

Таким образом, площадь сечения $S$ можно найти по формуле: $S = H \times a$.

Высота $H$ нам известна, $H = 16$ см. Найдем длину хорды $a$.

Рассмотрим основание цилиндра. Это окружность с радиусом $R = 10$ см. Секущая плоскость отсекает в этой окружности хорду, обозначим ее $AB$. Расстояние от центра окружности $O$ до этой хорды равно $d = 6$ см. Обозначим середину хорды $AB$ как точку $M$. Тогда отрезок $OM$ перпендикулярен хорде $AB$, и его длина равна $d$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$. В нем гипотенуза $OA$ - это радиус окружности ($OA = R = 10$ см), катет $OM$ - это расстояние от центра до хорды ($OM = d = 6$ см), а катет $AM$ - это половина длины хорды ($AM = a/2$).

По теореме Пифагора:

$OA^2 = OM^2 + AM^2$

Подставим известные значения и найдем $AM$:

$10^2 = 6^2 + AM^2$

$100 = 36 + AM^2$

$AM^2 = 100 - 36 = 64$

$AM = \sqrt{64} = 8$ см.

Так как $AM$ - это половина хорды $a$, то вся хорда равна:

$a = 2 \times AM = 2 \times 8 = 16$ см.

Теперь мы знаем обе стороны прямоугольника, образующего сечение: высота $H = 16$ см и ширина (хорда) $a = 16$ см. Следовательно, сечение является квадратом.

Вычислим площадь сечения $S$:

$S = H \times a = 16 \times 16 = 256$ см$^2$.

Ответ: $256$ см$^2$.