Страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

8. Дан цилиндр с радиусом 2 см и высотой 4 см. Параллельно его оси проводится сечение на расстоянии 1 см от оси. Найдите площадь и периметр сечения (рис.73).

Рис. 73

Согласно условию задачи, дан цилиндр с радиусом основания $R = 2$ см и высотой $H = 4$ см. Сечение проводится параллельно оси цилиндра на расстоянии $d = 1$ см от нее.

Такое сечение представляет собой прямоугольник. Одна из его сторон равна высоте цилиндра, а другая — хорде окружности основания.

Высота прямоугольника сечения: $h = H = 4$ см.

Для нахождения ширины сечения $w$ рассмотрим вид сверху на основание цилиндра. Ширина сечения — это хорда $KM$.

На рисунке показан круг основания с центром $O$. $OK$ и $OM$ — радиусы, $OK = OM = R = 2$ см. Отрезок $KM$ — хорда, соответствующая ширине сечения. $OE$ — перпендикуляр, опущенный из центра на хорду, его длина равна расстоянию от оси до сечения, $OE = d = 1$ см.

Треугольник $\triangle OKM$ является равнобедренным. Высота $OE$ в нем также является медианой, поэтому делит хорду $KM$ пополам: $KE = EM$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OEK$. По теореме Пифагора, $OK^2 = OE^2 + KE^2$. Отсюда можем найти длину катета $KE$:
$KE = \sqrt{OK^2 - OE^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$ см.

Длина всей хорды $KM$, которая является шириной сечения $w$, равна:
$w = KM = 2 \cdot KE = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная обе стороны прямоугольника ($h=4$ см и $w=2\sqrt{3}$ см), мы можем найти его площадь и периметр.

Площадь сечения

Площадь $S$ прямоугольного сечения вычисляется как произведение его сторон:
$S = w \cdot h = 2\sqrt{3} \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 8\sqrt{3} \text{ см}^2$.
Ответ: $8\sqrt{3}$ см$^2$.

Периметр сечения

Периметр $P$ прямоугольного сечения вычисляется как удвоенная сумма его смежных сторон:
$P = 2(w + h) = 2(2\sqrt{3} + 4) = 4\sqrt{3} + 8$ см.
Ответ: $8 + 4\sqrt{3}$ см.

9. Высота цилиндра 16 см, радиус 10 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и отстоящей от нее на 6 см.

По условию задачи, высота цилиндра $H = 16$ см, а радиус его основания $R = 10$ см. Необходимо найти площадь сечения, которое параллельно оси цилиндра и находится на расстоянии $d = 6$ см от нее.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а другая - длине хорды $a$ в основании цилиндра, которую отсекает секущая плоскость.

Таким образом, площадь сечения $S$ можно найти по формуле: $S = H \times a$.

Высота $H$ нам известна, $H = 16$ см. Найдем длину хорды $a$.

Рассмотрим основание цилиндра. Это окружность с радиусом $R = 10$ см. Секущая плоскость отсекает в этой окружности хорду, обозначим ее $AB$. Расстояние от центра окружности $O$ до этой хорды равно $d = 6$ см. Обозначим середину хорды $AB$ как точку $M$. Тогда отрезок $OM$ перпендикулярен хорде $AB$, и его длина равна $d$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$. В нем гипотенуза $OA$ - это радиус окружности ($OA = R = 10$ см), катет $OM$ - это расстояние от центра до хорды ($OM = d = 6$ см), а катет $AM$ - это половина длины хорды ($AM = a/2$).

По теореме Пифагора:

$OA^2 = OM^2 + AM^2$

Подставим известные значения и найдем $AM$:

$10^2 = 6^2 + AM^2$

$100 = 36 + AM^2$

$AM^2 = 100 - 36 = 64$

$AM = \sqrt{64} = 8$ см.

Так как $AM$ - это половина хорды $a$, то вся хорда равна:

$a = 2 \times AM = 2 \times 8 = 16$ см.

Теперь мы знаем обе стороны прямоугольника, образующего сечение: высота $H = 16$ см и ширина (хорда) $a = 16$ см. Следовательно, сечение является квадратом.

Вычислим площадь сечения $S$:

$S = H \times a = 16 \times 16 = 256$ см$^2$.

Ответ: $256$ см$^2$.

10. Радиус основания и высота цилиндра равны 5 см. В цилиндре проведены два сечения, параллельные между собой и параллельные оси. Площади этих сечений 40 см² и 30 см². Найдите расстояние между сечениями.

По условию задачи, радиус основания цилиндра $R = 5$ см, а высота $H = 5$ см. В цилиндре проведены два сечения, параллельные его оси. Эти сечения представляют собой прямоугольники, высота которых равна высоте цилиндра $H$, а ширина — длине хорд в основании цилиндра.

Пусть площади сечений равны $S_1 = 40 \text{ см}^2$ и $S_2 = 30 \text{ см}^2$. Пусть $a_1$ и $a_2$ — ширины этих сечений (длины хорд в основании).

Площадь прямоугольного сечения вычисляется по формуле $S = a \cdot H$. Найдем ширину каждого сечения:

Для первого сечения: $a_1 = \frac{S_1}{H} = \frac{40}{5} = 8$ см.

Для второго сечения: $a_2 = \frac{S_2}{H} = \frac{30}{5} = 6$ см.

Теперь рассмотрим основание цилиндра — круг с радиусом $R = 5$ см. Хорды $a_1 = 8$ см и $a_2 = 6$ см находятся на некотором расстоянии от центра круга. Это расстояние и есть расстояние от оси цилиндра до соответствующего сечения. Обозначим эти расстояния $d_1$ и $d_2$.

Для нахождения расстояний $d_1$ и $d_2$ воспользуемся теоремой Пифагора. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом (гипотенуза), половиной хорды (катет) и расстоянием от центра до хорды (второй катет), выполняется соотношение: $d = \sqrt{R^2 - (\frac{a}{2})^2}$.

Найдем расстояние $d_1$ от оси до сечения с площадью $40 \text{ см}^2$ (хорда $a_1 = 8$ см):

$d_1 = \sqrt{R^2 - (\frac{a_1}{2})^2} = \sqrt{5^2 - (\frac{8}{2})^2} = \sqrt{25 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ см.

Найдем расстояние $d_2$ от оси до сечения с площадью $30 \text{ см}^2$ (хорда $a_2 = 6$ см):

$d_2 = \sqrt{R^2 - (\frac{a_2}{2})^2} = \sqrt{5^2 - (\frac{6}{2})^2} = \sqrt{25 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.

Расстояние между сечениями — это расстояние между соответствующими хордами в плоскости основания. Поскольку сечения параллельны, возможны два случая их расположения относительно оси цилиндра, как показано на рисунке.

Случай 1: Сечения расположены по разные стороны от оси цилиндра.

В этом случае расстояние между сечениями равно сумме расстояний от оси до каждого из сечений:

$d = d_1 + d_2 = 3 + 4 = 7$ см.

Случай 2: Сечения расположены по одну сторону от оси цилиндра.

В этом случае расстояние между сечениями равно разности расстояний от оси до каждого из сечений:

$d = |d_2 - d_1| = |4 - 3| = 1$ см.

Поскольку в условии задачи не указано расположение сечений относительно оси, задача имеет два возможных решения.

Ответ: Расстояние между сечениями равно 1 см или 7 см.

11. Радиус цилиндра 5 дм, а высота 8 дм. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной основанию и отсекающей от окружности основания дугу в $60^\circ$.

По условию задачи, радиус цилиндра $R = 5$ дм, а высота $H = 8$ дм. Секущая плоскость перпендикулярна основанию цилиндра, следовательно, сечение представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а другая сторона является хордой $a$ в окружности основания.

Для нахождения площади этого прямоугольника ($S = H \cdot a$) необходимо определить длину хорды $a$. Из условия известно, что эта хорда отсекает от окружности основания дугу в $60^\circ$. Рассмотрим вид сверху на основание цилиндра.

Хорда $a$ (отрезок $AB$) стягивает дугу $AB$ в $60^\circ$. Центральный угол $\angle AOB$, опирающийся на эту дугу, равен ее градусной мере: $\angle AOB = 60^\circ$. Треугольник $\triangle AOB$ образован двумя радиусами $OA$, $OB$ и хордой $AB$. Так как $OA = OB = R = 5$ дм, то $\triangle AOB$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, и так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то $\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$.

Поскольку все три угла треугольника $\triangle AOB$ равны $60^\circ$, он является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны, в том числе и хорда $a$: $a = OA = OB = R = 5$ дм.

Теперь, зная обе стороны прямоугольника сечения ($a = 5$ дм и $H = 8$ дм), мы можем вычислить его площадь $S$.

$S = a \cdot H = 5 \text{ дм} \cdot 8 \text{ дм} = 40 \text{ дм}^2$.

Ответ: $40$ дм$^2$.