Страница 45 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

?! 1. Можно ли в сечении конуса плоскостью получить равнобедренный треугольник, отличный от осевого сечения?

Да, можно.

Любое сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, является треугольником (в вырожденном случае — отрезком, если плоскость касается конуса). Рассмотрим прямой круговой конус.

Пусть секущая плоскость $\alpha$ проходит через вершину конуса $V$ и пересекает его основание по некоторой хорде $AB$. Фигурой сечения является треугольник $\triangle VAB$. Две его стороны, $VA$ и $VB$, являются образующими конуса. В прямом круговом конусе все образующие имеют одинаковую длину. Обозначим длину образующей как $l$. Тогда $VA = VB = l$.

Поскольку две стороны треугольника $\triangle VAB$ равны, он по определению является равнобедренным.

Осевое сечение — это частный случай такого сечения, который получается, когда секущая плоскость проходит через ось конуса. В этом случае хорда $AB$ является диаметром окружности основания.

Если же мы выберем секущую плоскость так, чтобы она проходила через вершину $V$, но не содержала ось конуса (как показано на рисунке), то хорда $AB$ не будет являться диаметром. Полученный в сечении треугольник $\triangle VAB$ всё равно будет равнобедренным, так как $VA=VB=l$, но он не будет осевым сечением.

Следовательно, любое сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, но не через ось, является равнобедренным треугольником, отличным от осевого сечения.

Ответ: да, можно.

2. Может ли осевым сечением конуса быть прямоугольный треугольник?

Да, осевое сечение конуса может быть прямоугольным треугольником.

Осевое сечение конуса — это сечение, которое проходит через его ось. Такое сечение всегда является равнобедренным треугольником. Боковыми сторонами этого треугольника являются образующие конуса, а основанием — диаметр основания конуса.

Для того чтобы равнобедренный треугольник был одновременно и прямоугольным, один из его углов должен быть равен $90^\circ$.

Рассмотрим возможные варианты:

1. Прямой угол находится при основании треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если один из них равен $90^\circ$, то и второй должен быть равен $90^\circ$. В этом случае сумма углов треугольника превысит $180^\circ$ ($90^\circ + 90^\circ + \alpha > 180^\circ$), что геометрически невозможно.

2. Прямой угол находится при вершине треугольника, противолежащей основанию (то есть, в вершине конуса). Этот угол образован двумя образующими. Если он равен $90^\circ$, то два других угла (при основании) будут равны $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$. Такая конфигурация вполне возможна.

В таком конусе осевое сечение $\triangle PAB$ — это равнобедренный прямоугольный треугольник. Его катетами являются образующие конуса ($PA$ и $PB$), а гипотенузой — диаметр основания ($AB = 2r$). Высота конуса $PO=h$ является также высотой и медианой этого треугольника.

Рассмотрим треугольник $\triangle POA$. Он прямоугольный (так как $PO$ — высота), а угол $\angle OAP = 45^\circ$. Следовательно, третий угол $\angle APO$ также равен $45^\circ$ ($90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$). Это значит, что $\triangle POA$ является равнобедренным, и его катеты равны: $PO = OA$.

Таким образом, высота конуса $h$ должна быть равна радиусу его основания $r$.

Ответ: Да, может. Это происходит в том случае, когда осевое сечение является равнобедренным прямоугольным треугольником, у которого прямой угол находится в вершине конуса. Такое условие выполняется, когда высота конуса равна радиусу его основания ($h=r$).

3. Приведите примеры тел конической формы.

Конус (или тело конической формы) — это трехмерная геометрическая фигура, которая образуется путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Он состоит из плоского основания, чаще всего в форме круга, и боковой поверхности, все точки которой соединяют периметр основания с одной точкой, называемой вершиной. Объем конуса можно найти по формуле $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, где $r$ — это радиус основания, а $h$ — высота конуса.
Тела конической формы широко распространены как в природе, так и в созданных человеком объектах.
Примеры из быта, кулинарии и техники:
• Рожок для мороженого — классический пример пищевого продукта конической формы.
• Дорожный конус — используется для обозначения и ограждения на дорогах.
• Воронка (лейка) — применяется для переливания жидкостей в сосуды с узким горлышком.
• Праздничный колпак — головной убор для дней рождений и вечеринок.
• Заточенный кончик карандаша.
• Мегафон или рупор — устройства для усиления звука.
• Конические крыши башен и зданий (например, шпиль или шатер).
Примеры из природы:
• Вулканы — многие вулканы, особенно стратовулканы, имеют форму, близкую к конической.
• Шишки хвойных деревьев (ель, сосна) — имеют ярко выраженную коническую форму.
• Сталагмиты и сталактиты — известковые наросты в пещерах, часто растущие в виде конусов.
• Корнеплоды — некоторые овощи, например, морковь, могут иметь коническую форму.
• Раковины некоторых моллюсков (например, рода Conus).
Стоит также упомянуть усеченный конус — это конус, у которого верхняя часть была отсечена плоскостью, параллельной основанию. Такие формы тоже очень распространены:
• Ведро
• Абажур для лампы
• Обычный бумажный или пластиковый стаканчик
• Цветочный горшок
Ответ: Примерами тел конической формы могут служить: рожок для мороженого, дорожный конус, воронка, праздничный колпак, вулкан, еловая шишка, морковь. Также распространены предметы в форме усеченного конуса: ведро, абажур, стаканчик.

3. Приведите примеры тел конической форм.

4. Нарисуйте различные по форме сечения конуса.

Сечения конуса плоскостью, называемые коническими сечениями, могут иметь различную форму в зависимости от положения секущей плоскости относительно конуса. Различают невырожденные и вырожденные сечения. Пусть $\theta$ — угол между осью конуса и его образующей (половина угла раствора конуса), а $\phi$ — угол между секущей плоскостью и осью конуса.

Невырожденные конические сечения (плоскость не проходит через вершину конуса):

Круг

Сечение является кругом, если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса, то есть $\phi = 90^\circ$.

Эллипс

Сечение является эллипсом, если секущая плоскость наклонена к оси конуса и пересекает все его образующие. Угол $\phi$ больше угла $\theta$, но меньше $90^\circ$ ($\theta < \phi < 90^\circ$).

Парабола

Сечение является параболой, если секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса, то есть $\phi = \theta$.

Гипербола

Сечение является гиперболой, если секущая плоскость пересекает обе полости двойного конуса. Это происходит, когда угол $\phi$ меньше угла $\theta$ ($0 \le \phi < \theta$).

Вырожденные конические сечения (плоскость проходит через вершину конуса):

Точка

Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, и угол $\phi$ больше угла $\theta$ ($\phi > \theta$), сечением является единственная точка — вершина конуса.

Прямая

Если секущая плоскость касается конуса, проходя через его вершину ($\phi = \theta$), сечением является одна прямая (образующая).

Пара пересекающихся прямых

Если секущая плоскость проходит через вершину конуса и угол $\phi$ меньше угла $\theta$ ($\phi < \theta$), сечением является пара прямых (две образующие), пересекающихся в вершине.

Ответ: Различные по форме сечения конуса плоскостью — это круг, эллипс, парабола, гипербола (невырожденные случаи), а также точка, прямая и пара пересекающихся прямых (вырожденные случаи). Каждое сечение проиллюстрировано выше.

5. Дан конус высотой $H$ и радиусом основания $R$. Как, не изменяя его высоты, изменить радиус основания конуса, чтобы удвоилась:

а) площадь его боковой поверхности;

б) площадь всей поверхности конуса?

а) Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ — радиус основания, а $L$ — длина образующей. Образующая, высота $H$ и радиус $R$ связаны по теореме Пифагора: $L = \sqrt{H^2 + R^2}$. Таким образом, исходная площадь боковой поверхности равна $S_{бок} = \pi R \sqrt{H^2 + R^2}$.

Пусть новый радиус основания равен $R_1$, при этом высота $H$ остается неизменной. Новая площадь боковой поверхности будет равна $S'_{бок} = \pi R_1 \sqrt{H^2 + R_1^2}$. Согласно условию задачи, эта площадь должна быть вдвое больше исходной: $S'_{бок} = 2 S_{бок}$.

Составим уравнение:

$\pi R_1 \sqrt{H^2 + R_1^2} = 2 \pi R \sqrt{H^2 + R^2}$

Разделим обе части на $\pi$ и возведем в квадрат:

$R_1^2 (H^2 + R_1^2) = 4 R^2 (H^2 + R^2)$

$R_1^4 + H^2 R_1^2 = 4R^2H^2 + 4R^4$

$R_1^4 + H^2 R_1^2 - (4R^2H^2 + 4R^4) = 0$

Мы получили биквадратное уравнение относительно $R_1$. Сделаем замену $x = R_1^2$. Так как радиус не может быть отрицательным, $x > 0$.

$x^2 + H^2 x - (4R^2H^2 + 4R^4) = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $x$ с помощью формулы для корней:

$x = \frac{-H^2 \pm \sqrt{(H^2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(4R^2H^2 + 4R^4))}}{2} = \frac{-H^2 \pm \sqrt{H^4 + 16R^2H^2 + 16R^4}}{2}$

Поскольку $x = R_1^2$ должен быть положительной величиной, мы выбираем корень со знаком «плюс».

$R_1^2 = \frac{-H^2 + \sqrt{H^4 + 16H^2R^2 + 16R^4}}{2}$

Следовательно, новый радиус $R_1$ равен:

$R_1 = \sqrt{\frac{-H^2 + \sqrt{H^4 + 16H^2R^2 + 16R^4}}{2}}$

Ответ: Радиус основания нужно изменить на значение $R_1 = \sqrt{\frac{-H^2 + \sqrt{H^4 + 16H^2R^2 + 16R^4}}{2}}$.

б) Площадь всей поверхности конуса ($S_{полн}$) равна сумме площади основания ($S_{осн} = \pi R^2$) и площади боковой поверхности ($S_{бок} = \pi R L$).

$S_{полн} = \pi R^2 + \pi R \sqrt{H^2 + R^2} = \pi R(R + \sqrt{H^2 + R^2})$

Пусть новый радиус основания равен $R_2$, а высота $H$ не изменилась. Новая площадь полной поверхности будет $S'_{полн} = \pi R_2(R_2 + \sqrt{H^2 + R_2^2})$. По условию, $S'_{полн} = 2 S_{полн}$.

Запишем уравнение:

$\pi R_2(R_2 + \sqrt{H^2 + R_2^2}) = 2 \pi R(R + \sqrt{H^2 + R^2})$

Сократим на $\pi$ и для удобства обозначим правую часть как $C = 2R(R + \sqrt{H^2 + R^2})$:

$R_2^2 + R_2\sqrt{H^2 + R_2^2} = C$

Изолируем член с корнем и возведем обе части в квадрат:

$R_2\sqrt{H^2 + R_2^2} = C - R_2^2$

$R_2^2(H^2 + R_2^2) = (C - R_2^2)^2$

$H^2 R_2^2 + R_2^4 = C^2 - 2CR_2^2 + R_2^4$

Упростим, сократив $R_2^4$:

$H^2 R_2^2 = C^2 - 2CR_2^2$

$H^2 R_2^2 + 2CR_2^2 = C^2$

$R_2^2(H^2 + 2C) = C^2$

$R_2^2 = \frac{C^2}{H^2 + 2C}$

Теперь подставим обратно выражение для $C$:

$R_2^2 = \frac{(2R(R + \sqrt{H^2 + R^2}))^2}{H^2 + 2(2R(R + \sqrt{H^2 + R^2}))} = \frac{4R^2(R + \sqrt{H^2 + R^2})^2}{H^2 + 4R^2 + 4R\sqrt{H^2 + R^2}}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим искомый радиус $R_2$:

$R_2 = \frac{2R(R + \sqrt{H^2 + R^2})}{\sqrt{H^2 + 4R^2 + 4R\sqrt{H^2 + R^2}}}$

Ответ: Радиус основания нужно изменить на значение $R_2 = \frac{2R(R + \sqrt{H^2 + R^2})}{\sqrt{H^2 + 4R^2 + 4R\sqrt{H^2 + R^2}}}$.

6. Высота конуса 15 см, радиус 8 см. Найдите образующую конуса.

Высота конуса ($h$), радиус его основания ($r$) и образующая ($l$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике высота и радиус являются катетами, а образующая — гипотенузой.
Для наглядности это можно представить на схеме осевого сечения конуса:

Для нахождения длины образующей ($l$) воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$l^2 = h^2 + r^2$

Подставим в эту формулу известные из условия значения:
Высота $h = 15$ см.
Радиус $r = 8$ см.

$l^2 = 15^2 + 8^2$

Теперь выполним вычисления:
$15^2 = 225$
$8^2 = 64$
$l^2 = 225 + 64$
$l^2 = 289$

Чтобы найти длину образующей $l$, необходимо извлечь квадратный корень из 289:
$l = \sqrt{289}$
$l = 17$ см.

Ответ: образующая конуса равна 17 см.

7. Образующая конуса равна $12\sqrt{2}$ см и наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите высоту.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуют высота конуса ($h$), радиус его основания ($r$) и образующая ($l$). В этом треугольнике высота $h$ и радиус $r$ являются катетами, а образующая $l$ — гипотенузой. Угол наклона образующей к плоскости основания — это угол $\alpha$ между гипотенузой $l$ и катетом $r$.

По условию задачи, длина образующей $l = 12\sqrt{2}$ см, а угол $\alpha$, под которым она наклонена к основанию, равен $45°$. Высота $h$ является катетом, противолежащим этому углу $\alpha$. Для нахождения высоты $h$ воспользуемся определением синуса в прямоугольном треугольнике:
$ \sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{h}{l} $
Выразим из этой формулы высоту:
$h = l \cdot \sin(\alpha)$
Подставим известные значения: $l = 12\sqrt{2}$ и $\alpha = 45°$. Поскольку значение $\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, произведем вычисление:
$h = 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{12 \cdot (\sqrt{2})^2}{2} = \frac{12 \cdot 2}{2} = 12$ см.

Ответ: 12 см.

под углом 15°. Найдите высоту.

8. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник со стороной 8 см. Найдите радиус и высоту конуса.

По условию задачи, осевое сечение конуса — это равносторонний треугольник со стороной $a = 8$ см. Осевое сечение — это треугольник, образованный двумя образующими конуса ($L$) и диаметром его основания ($D$).

Так как треугольник сечения равносторонний, все его стороны равны. Следовательно, образующая $L$ равна стороне треугольника, а диаметр основания $D$ также равен стороне треугольника.
$L = 8$ см.
$D = 8$ см.
Высота конуса $H$ совпадает с высотой этого равностороннего треугольника.

Радиус конуса
Радиус основания конуса $R$ равен половине его диаметра $D$.
$R = \frac{D}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.
Ответ: радиус конуса равен 4 см.

Высота конуса
Высота конуса $H$, радиус $R$ и образующая $L$ образуют прямоугольный треугольник, где $L$ — гипотенуза. По теореме Пифагора:
$H^2 + R^2 = L^2$
Отсюда $H^2 = L^2 - R^2$. Подставим известные значения $L=8$ см и $R=4$ см:
$H^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48$
$H = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.
Ответ: высота конуса равна $4\sqrt{3}$ см.

9. Радиус основания конуса 17 дм. Осевым сечением является прямоугольный треугольник. Найдите его площадь.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, боковыми сторонами которого являются образующие конуса ($l$), а основанием — диаметр основания конуса ($d$).

По условию задачи, это осевое сечение является прямоугольным треугольником. Поскольку треугольник равнобедренный, прямой угол может быть только при вершине конуса (угол между образующими). Если бы прямыми были углы при основании, их сумма была бы уже $180^\circ$, что невозможно для треугольника.

Таким образом, осевое сечение — это равнобедренный прямоугольный треугольник. Основание этого треугольника (гипотенуза) — диаметр основания конуса $d$. Высота этого треугольника, опущенная на основание, является высотой конуса $h$.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. В нашем случае гипотенузой является диаметр $d$, а высотой — высота конуса $h$.

Радиус основания конуса дан по условию: $r = 17$ дм.

Диаметр основания (гипотенуза осевого сечения) равен $d = 2r = 2 \cdot 17 = 34$ дм.

Высота конуса (и высота осевого сечения) равна половине диаметра: $h = \frac{d}{2} = \frac{34}{2} = 17$ дм. Таким образом, мы видим, что высота конуса равна его радиусу: $h = r$.

Теперь найдем площадь $S$ осевого сечения, которая является площадью треугольника. Формула площади треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h$

Подставим известные значения:

$S = \frac{1}{2} \cdot 34 \cdot 17 = 17 \cdot 17 = 289$ дм$^2$.

Также можно было сразу использовать свойство, что $h = r$ и $d = 2r$, тогда площадь сечения равна $S = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot r = r^2$.

$S = 17^2 = 289$ дм$^2$.

Ответ: 289 дм$^2$.

10. Образующая конуса 13 см, высота 5 см. Найдите площадь его поверхности.

Площадь полной поверхности конуса, $S_{полн}$, вычисляется как сумма площади его основания, $S_{осн}$, и площади боковой поверхности, $S_{бок}$.

Формула для площади полной поверхности конуса: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r + l)$, где $r$ – радиус основания конуса, а $l$ – длина образующей.

По условию задачи, образующая конуса $l = 13$ см, а высота $h = 5$ см. Чтобы найти площадь поверхности, сначала нужно определить радиус основания $r$.

Высота конуса $h$, радиус его основания $r$ и образующая $l$ образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой, а высота и радиус – катетами. Это показано на рисунке осевого сечения конуса.

Согласно теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + r^2$.

Выразим радиус $r$ из этой формулы:

$r^2 = l^2 - h^2$

$r = \sqrt{l^2 - h^2}$

Подставим известные значения $l=13$ и $h=5$:

$r = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$.

Теперь, когда известен радиус $r = 12$ см, мы можем вычислить площадь полной поверхности конуса. Сделаем это, используя общую формулу:

$S_{полн} = \pi r(r + l) = \pi \cdot 12 \cdot (12 + 13) = \pi \cdot 12 \cdot 25 = 300\pi \text{ см}^2$.

Можно также вычислить площади основания и боковой поверхности по отдельности и сложить их:

Площадь основания: $S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot 12^2 = 144\pi \text{ см}^2$.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 12 \cdot 13 = 156\pi \text{ см}^2$.

Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 144\pi + 156\pi = 300\pi \text{ см}^2$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $300\pi \text{ см}^2$.

11. Сколько квадратных метров ткани потребуется, чтобы сшить конусообразную палатку высотой 3 м и диаметром 4 м?

Для того чтобы сшить конусообразную палатку, необходимо рассчитать площадь её боковой поверхности. Именно эта величина будет соответствовать количеству требуемой ткани, так как пол палатки обычно не учитывается или делается из другого материала.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — это радиус основания конуса, а $l$ — это длина его образующей (длина наклонной части палатки).

По условию задачи, высота палатки $h = 3$ м, а диаметр её основания $d = 4$ м. Сначала найдём радиус основания. Радиус равен половине диаметра:

$r = \frac{d}{2} = \frac{4 \text{ м}}{2} = 2 \text{ м}$.

Теперь нужно найти длину образующей $l$. Образующая, высота и радиус конуса образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая $l$ является гипотенузой, а высота $h$ и радиус $r$ — катетами. Это можно представить наглядно:

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $l^2 = h^2 + r^2$.

Подставим наши значения:

$l^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$

Следовательно, длина образующей: $l = \sqrt{13}$ м.

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности конуса, подставив найденные значения $r$ и $l$ в исходную формулу:

$S_{бок} = \pi \cdot 2 \cdot \sqrt{13} = 2\pi\sqrt{13}$ м².

Это точный ответ. Если требуется получить приближенное число, можно использовать значения $\pi \approx 3.14$ и $\sqrt{13} \approx 3.61$. В этом случае площадь будет примерно равна $S_{бок} \approx 2 \cdot 3.14 \cdot 3.61 \approx 22.67$ м².

Ответ: $2\pi\sqrt{13}$ м².

12. Образующая конуса равна 14 м и наклонена к плоскости основания под углом $60^\circ$. Найдите:

a) площадь основания конуса;

б) площадь боковой поверхности конуса.

В задаче дан конус, у которого образующая $l = 14$ м, а угол наклона образующей к плоскости основания $\alpha = 60°$.

Образующая ($l$), радиус основания ($r$) и высота конуса ($h$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $l$ является гипотенузой, а $r$ и $h$ – катетами. Угол между образующей и плоскостью основания – это угол между гипотенузой $l$ и катетом $r$.

а) площадь основания конуса

Для нахождения площади основания сначала нужно найти его радиус $r$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей, радиус является катетом, прилежащим к углу $60°$. Таким образом, его можно найти через косинус этого угла:

$r = l \cdot \cos(\alpha) = 14 \cdot \cos(60°)$

Зная, что $\cos(60°) = \frac{1}{2}$, получаем:

$r = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7$ м.

Площадь основания конуса — это площадь круга, которая вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi r^2$

Подставляем найденное значение радиуса:

$S_{осн} = \pi \cdot 7^2 = 49\pi$ м².

Ответ: $49\pi$ м².

б) площадь боковой поверхности конуса

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле, использующей радиус основания и образующую:

$S_{бок} = \pi r l$

Подставляем известные значения $r=7$ м и $l=14$ м:

$S_{бок} = \pi \cdot 7 \cdot 14 = 98\pi$ м².

Ответ: $98\pi$ м².

13. Высота конуса 4 см, образующая 5 см. Найдите угол сектора, являющегося разверткой боковой поверхности этого конуса.

Для решения этой задачи необходимо понять, что развертка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор. Радиус этого сектора ($R_{сект}$) равен образующей конуса ($l$), а длина дуги этого сектора ($L_{дуги}$) равна длине окружности основания конуса ($C$). Угол этого сектора, который требуется найти, обозначим как $\alpha$.

Дано:
Высота конуса $h = 4$ см.
Образующая конуса $l = 5$ см.

Первым шагом найдем радиус основания конуса $r$. Высота $h$, радиус $r$ и образующая $l$ образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой. Применим теорему Пифагора:
$l^2 = h^2 + r^2$
Подставим известные значения:
$5^2 = 4^2 + r^2$
$25 = 16 + r^2$
$r^2 = 25 - 16 = 9$
$r = \sqrt{9} = 3$ см.

Теперь, зная радиус основания $r$ и образующую $l$, мы можем найти угол сектора $\alpha$. Существует прямое соотношение: отношение угла сектора $\alpha$ к полному углу $360^\circ$ равно отношению радиуса основания конуса $r$ к его образующей $l$.
$\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{r}{l}$

Подставим наши значения $r = 3$ см и $l = 5$ см в эту формулу:
$\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{3}{5}$
Отсюда выражаем и вычисляем искомый угол $\alpha$:
$\alpha = \frac{3}{5} \cdot 360^\circ = 0.6 \cdot 360^\circ = 216^\circ$.

Ответ: $216^\circ$.