Номер 9, страница 45 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

9. Радиус основания конуса 17 дм. Осевым сечением является прямоугольный треугольник. Найдите его площадь.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, боковыми сторонами которого являются образующие конуса ($l$), а основанием — диаметр основания конуса ($d$).

По условию задачи, это осевое сечение является прямоугольным треугольником. Поскольку треугольник равнобедренный, прямой угол может быть только при вершине конуса (угол между образующими). Если бы прямыми были углы при основании, их сумма была бы уже $180^\circ$, что невозможно для треугольника.

Таким образом, осевое сечение — это равнобедренный прямоугольный треугольник. Основание этого треугольника (гипотенуза) — диаметр основания конуса $d$. Высота этого треугольника, опущенная на основание, является высотой конуса $h$.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. В нашем случае гипотенузой является диаметр $d$, а высотой — высота конуса $h$.

Радиус основания конуса дан по условию: $r = 17$ дм.

Диаметр основания (гипотенуза осевого сечения) равен $d = 2r = 2 \cdot 17 = 34$ дм.

Высота конуса (и высота осевого сечения) равна половине диаметра: $h = \frac{d}{2} = \frac{34}{2} = 17$ дм. Таким образом, мы видим, что высота конуса равна его радиусу: $h = r$.

Теперь найдем площадь $S$ осевого сечения, которая является площадью треугольника. Формула площади треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h$

Подставим известные значения:

$S = \frac{1}{2} \cdot 34 \cdot 17 = 17 \cdot 17 = 289$ дм$^2$.

Также можно было сразу использовать свойство, что $h = r$ и $d = 2r$, тогда площадь сечения равна $S = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot r = r^2$.

$S = 17^2 = 289$ дм$^2$.

Ответ: 289 дм$^2$.