Номер 10, страница 45 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

10. Образующая конуса 13 см, высота 5 см. Найдите площадь его поверхности.

Площадь полной поверхности конуса, $S_{полн}$, вычисляется как сумма площади его основания, $S_{осн}$, и площади боковой поверхности, $S_{бок}$.

Формула для площади полной поверхности конуса: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r + l)$, где $r$ – радиус основания конуса, а $l$ – длина образующей.

По условию задачи, образующая конуса $l = 13$ см, а высота $h = 5$ см. Чтобы найти площадь поверхности, сначала нужно определить радиус основания $r$.

Высота конуса $h$, радиус его основания $r$ и образующая $l$ образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой, а высота и радиус – катетами. Это показано на рисунке осевого сечения конуса.

Согласно теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + r^2$.

Выразим радиус $r$ из этой формулы:

$r^2 = l^2 - h^2$

$r = \sqrt{l^2 - h^2}$

Подставим известные значения $l=13$ и $h=5$:

$r = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$.

Теперь, когда известен радиус $r = 12$ см, мы можем вычислить площадь полной поверхности конуса. Сделаем это, используя общую формулу:

$S_{полн} = \pi r(r + l) = \pi \cdot 12 \cdot (12 + 13) = \pi \cdot 12 \cdot 25 = 300\pi \text{ см}^2$.

Можно также вычислить площади основания и боковой поверхности по отдельности и сложить их:

Площадь основания: $S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot 12^2 = 144\pi \text{ см}^2$.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 12 \cdot 13 = 156\pi \text{ см}^2$.

Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 144\pi + 156\pi = 300\pi \text{ см}^2$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $300\pi \text{ см}^2$.