Номер 2, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

2. Равнобедренную трапецию с основаниями 12 и 20 и высотой 3 вращают вокруг оси симметрии. Найдите площадь поверхности полученной фигуры вращения.

При вращении равнобедренной трапеции вокруг ее оси симметрии образуется усеченный конус. Ось симметрии проходит через середины оснований трапеции перпендикулярно им.

Площадь полной поверхности усеченного конуса складывается из площадей двух оснований (верхнего и нижнего) и площади боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{верхн. осн.} + S_{нижн. осн.} + S_{бок}$

Найдем параметры усеченного конуса, исходя из данных трапеции:

• Высота усеченного конуса $h$ равна высоте трапеции, то есть $h=3$.
• Радиус нижнего, большего основания $R$ равен половине длины большего основания трапеции: $R = \frac{20}{2} = 10$.
• Радиус верхнего, меньшего основания $r$ равен половине длины меньшего основания трапеции: $r = \frac{12}{2} = 6$.

1. Найдем площади оснований.

Площадь нижнего основания (круга радиусом $R$):

$S_{нижн. осн.} = \pi R^2 = \pi \cdot 10^2 = 100\pi$.

Площадь верхнего основания (круга радиусом $r$):

$S_{верхн. осн.} = \pi r^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi$.

2. Найдем площадь боковой поверхности.

Формула площади боковой поверхности усеченного конуса: $S_{бок} = \pi(R+r)l$, где $l$ — длина образующей.

Образующая $l$ усеченного конуса равна боковой стороне равнобедренной трапеции. Найдем ее. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции $h$, боковой стороной $l$ (гипотенуза) и катетом, равным разности радиусов оснований $(R-r)$.

Длина катета равна: $R-r = 10-6 = 4$.

По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + (R-r)^2$

$l^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$l = \sqrt{25} = 5$.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi(10+6) \cdot 5 = \pi \cdot 16 \cdot 5 = 80\pi$.

3. Найдем площадь полной поверхности.

Сложим площади оснований и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{нижн. осн.} + S_{верхн. осн.} + S_{бок} = 100\pi + 36\pi + 80\pi = 216\pi$.

Ответ: $216\pi$.