Номер 1, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

1. Могут ли три точки сферы лежать на одной прямой? Объясните ваш вывод.

Нет, три различные точки сферы не могут лежать на одной прямой.

Объяснение:

Сфера — это геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от одной данной точки, называемой центром сферы. Расстояние от центра до любой точки сферы называется радиусом $R$.

Рассмотрим взаимное расположение прямой и сферы в пространстве. Прямая может иметь со сферой не более двух общих точек. Существует три случая:

1. Прямая не имеет общих точек со сферой. Это происходит, когда расстояние от центра сферы до прямой больше радиуса ($d > R$).

2. Прямая имеет одну общую точку со сферой. В этом случае прямая называется касательной к сфере. Расстояние от центра сферы до прямой равно радиусу ($d = R$).

3. Прямая имеет две общие точки со сферой. Такая прямая называется секущей. Расстояние от центра сферы до прямой меньше радиуса ($d < R$).

Ниже приведено графическое представление этих случаев в сечении:

Алгебраическое доказательство:

Рассмотрим уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом $R$: $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$.
И параметрические уравнения произвольной прямой:
$x = x_0 + at$
$y = y_0 + bt$
$z = z_0 + ct$
где $(x_0, y_0, z_0)$ — точка на прямой, а $\vec{v}=(a, b, c)$ — её направляющий вектор.

Чтобы найти точки пересечения, подставим уравнения прямой в уравнение сферы:
$(x_0 + at)^2 + (y_0 + bt)^2 + (z_0 + ct)^2 = R^2$

После раскрытия скобок и группировки слагаемых по степеням параметра $t$ мы получим квадратное уравнение вида:
$(a^2 + b^2 + c^2)t^2 + 2(ax_0 + by_0 + cz_0)t + (x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 - R^2) = 0$

Это уравнение вида $At^2 + Bt + C = 0$. Коэффициент $A = a^2+b^2+c^2 = |\vec{v}|^2$ не равен нулю, так как направляющий вектор прямой не может быть нулевым. Любое квадратное уравнение имеет не более двух действительных корней. Каждый корень соответствует одной точке пересечения.

Следовательно, у прямой и сферы не может быть более двух общих точек. Если бы три точки сферы лежали на одной прямой, это означало бы, что у прямой и сферы три точки пересечения, что невозможно.

Ответ: Нет, три точки сферы не могут лежать на одной прямой, так как любая прямая может пересекать сферу не более чем в двух точках.