Номер 2, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

2. Дана окружность. Сколько можно провести сфер, содержащих эту окружность?

Рассмотрим данную окружность. Обозначим ее центр как $O$, а радиус как $r$. Эта окружность лежит в некоторой плоскости, которую мы назовем $\alpha$.

Для того чтобы сфера содержала данную окружность, ее центр должен быть равноудален от всех точек этой окружности. Множество всех точек пространства, равноудаленных от всех точек данной окружности, представляет собой прямую, перпендикулярную плоскости окружности и проходящую через ее центр.

Обозначим эту прямую как $l$. Таким образом, прямая $l$ проходит через точку $O$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$. Любая точка на этой прямой может служить центром сферы, содержащей исходную окружность.

Возьмем любую точку $S$ на прямой $l$. Докажем, что она может быть центром сферы, содержащей данную окружность. Пусть $M$ — произвольная точка на окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$, так как прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, а отрезок $OM$ лежит в этой плоскости).

По теореме Пифагора, квадрат расстояния от точки $S$ до точки $M$ равен:

$SM^2 = SO^2 + OM^2$

Поскольку точка $S$ выбрана, расстояние $SO$ является постоянной величиной. Расстояние $OM$ — это радиус окружности $r$, который также является постоянной величиной для всех точек $M$ на окружности. Следовательно, расстояние $SM = \sqrt{SO^2 + r^2}$ одинаково для любой точки $M$ на окружности.

Это означает, что любая точка $S$ на прямой $l$ равноудалена от всех точек данной окружности. Таким образом, можно построить сферу с центром в точке $S$ и радиусом $R = SM$, которая будет содержать эту окружность.

Так как прямая $l$ бесконечна, на ней можно выбрать бесконечно много различных точек $S$. Каждая такая точка будет определять уникальную сферу (с уникальным центром и, как правило, уникальным радиусом). Следовательно, существует бесконечное множество сфер, содержащих данную окружность.

Ответ: можно провести бесконечное множество сфер.