Страница 54 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

1. Могут ли три точки сферы лежать на одной прямой? Объясните ваш вывод.

Нет, три различные точки сферы не могут лежать на одной прямой.

Объяснение:

Сфера — это геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от одной данной точки, называемой центром сферы. Расстояние от центра до любой точки сферы называется радиусом $R$.

Рассмотрим взаимное расположение прямой и сферы в пространстве. Прямая может иметь со сферой не более двух общих точек. Существует три случая:

1. Прямая не имеет общих точек со сферой. Это происходит, когда расстояние от центра сферы до прямой больше радиуса ($d > R$).

2. Прямая имеет одну общую точку со сферой. В этом случае прямая называется касательной к сфере. Расстояние от центра сферы до прямой равно радиусу ($d = R$).

3. Прямая имеет две общие точки со сферой. Такая прямая называется секущей. Расстояние от центра сферы до прямой меньше радиуса ($d < R$).

Ниже приведено графическое представление этих случаев в сечении:

Алгебраическое доказательство:

Рассмотрим уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом $R$: $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$.
И параметрические уравнения произвольной прямой:
$x = x_0 + at$
$y = y_0 + bt$
$z = z_0 + ct$
где $(x_0, y_0, z_0)$ — точка на прямой, а $\vec{v}=(a, b, c)$ — её направляющий вектор.

Чтобы найти точки пересечения, подставим уравнения прямой в уравнение сферы:
$(x_0 + at)^2 + (y_0 + bt)^2 + (z_0 + ct)^2 = R^2$

После раскрытия скобок и группировки слагаемых по степеням параметра $t$ мы получим квадратное уравнение вида:
$(a^2 + b^2 + c^2)t^2 + 2(ax_0 + by_0 + cz_0)t + (x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 - R^2) = 0$

Это уравнение вида $At^2 + Bt + C = 0$. Коэффициент $A = a^2+b^2+c^2 = |\vec{v}|^2$ не равен нулю, так как направляющий вектор прямой не может быть нулевым. Любое квадратное уравнение имеет не более двух действительных корней. Каждый корень соответствует одной точке пересечения.

Следовательно, у прямой и сферы не может быть более двух общих точек. Если бы три точки сферы лежали на одной прямой, это означало бы, что у прямой и сферы три точки пересечения, что невозможно.

Ответ: Нет, три точки сферы не могут лежать на одной прямой, так как любая прямая может пересекать сферу не более чем в двух точках.

2. Дана окружность. Сколько можно провести сфер, содержащих эту окружность?

Рассмотрим данную окружность. Обозначим ее центр как $O$, а радиус как $r$. Эта окружность лежит в некоторой плоскости, которую мы назовем $\alpha$.

Для того чтобы сфера содержала данную окружность, ее центр должен быть равноудален от всех точек этой окружности. Множество всех точек пространства, равноудаленных от всех точек данной окружности, представляет собой прямую, перпендикулярную плоскости окружности и проходящую через ее центр.

Обозначим эту прямую как $l$. Таким образом, прямая $l$ проходит через точку $O$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$. Любая точка на этой прямой может служить центром сферы, содержащей исходную окружность.

Возьмем любую точку $S$ на прямой $l$. Докажем, что она может быть центром сферы, содержащей данную окружность. Пусть $M$ — произвольная точка на окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$, так как прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, а отрезок $OM$ лежит в этой плоскости).

По теореме Пифагора, квадрат расстояния от точки $S$ до точки $M$ равен:

$SM^2 = SO^2 + OM^2$

Поскольку точка $S$ выбрана, расстояние $SO$ является постоянной величиной. Расстояние $OM$ — это радиус окружности $r$, который также является постоянной величиной для всех точек $M$ на окружности. Следовательно, расстояние $SM = \sqrt{SO^2 + r^2}$ одинаково для любой точки $M$ на окружности.

Это означает, что любая точка $S$ на прямой $l$ равноудалена от всех точек данной окружности. Таким образом, можно построить сферу с центром в точке $S$ и радиусом $R = SM$, которая будет содержать эту окружность.

Так как прямая $l$ бесконечна, на ней можно выбрать бесконечно много различных точек $S$. Каждая такая точка будет определять уникальную сферу (с уникальным центром и, как правило, уникальным радиусом). Следовательно, существует бесконечное множество сфер, содержащих данную окружность.

Ответ: можно провести бесконечное множество сфер.

3. Диаметр сферы равен $\sqrt{3}$. Определите, внутри или вне сферы расположена точка А, если она:

1) удалена от центра сферы на $\sqrt{2}$;

2) удалена от центра на 0,85.

Чтобы определить, находится ли точка внутри или вне сферы, нужно сравнить расстояние от этой точки до центра сферы с радиусом самой сферы. Если расстояние меньше радиуса, точка находится внутри сферы. Если расстояние больше радиуса, точка находится вне сферы. Если расстояние равно радиусу, точка лежит на поверхности сферы.

Сначала найдем радиус сферы. По условию, диаметр сферы $d$ равен $\sqrt{3}$. Радиус $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

1) Расстояние от точки А до центра сферы, обозначим его $d_A$, равно $\sqrt{2}$.

Сравним это расстояние с радиусом сферы $R = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Для удобства сравнения возведем оба значения в квадрат:

$d_A^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

$R^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} = 0.75$

Так как $2 > 0.75$, то и $d_A^2 > R^2$. Поскольку расстояние и радиус являются положительными величинами, отсюда следует, что $d_A > R$.

Это означает, что точка А удалена от центра на расстояние, большее, чем радиус сферы.

Ответ: точка А расположена вне сферы.

2) Расстояние от точки А до центра сферы равно $d_A = 0.85$.

Сравним это расстояние с радиусом сферы $R = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Снова возведем оба значения в квадрат:

$d_A^2 = (0.85)^2 = 0.7225$

$R^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} = 0.75$

Так как $0.7225 < 0.75$, то и $d_A^2 < R^2$. Следовательно, $d_A < R$.

Можно также сравнить приближенные значения: $R = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.732}{2} = 0.866$. Очевидно, что $0.85 < 0.866$, что подтверждает наш вывод $d_A < R$.

Это означает, что точка А удалена от центра на расстояние, меньшее, чем радиус сферы.

Ответ: точка А расположена внутри сферы.

4. Сколько различных сфер можно провести:

1) через две данные точки

Пусть даны две различные точки A и B. Сфера — это множество всех точек в пространстве, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки, называемой центром. Если сфера проходит через точки A и B, то ее центр O должен быть равноудален от этих точек, то есть должно выполняться равенство $OA = OB$.

Геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от двух данных точек A и B, представляет собой плоскость, перпендикулярную отрезку AB и проходящую через его середину. Эту плоскость называют срединной перпендикулярной плоскостью к отрезку AB.

Любая точка O, принадлежащая этой плоскости, может служить центром сферы, проходящей через A и B. Радиус такой сферы будет равен расстоянию $R = OA = OB$. Так как плоскость содержит бесконечное множество точек, то существует и бесконечное множество таких сфер. Их центры лежат на срединной перпендикулярной плоскости к отрезку AB.

Ответ: через две данные точки можно провести бесконечно много различных сфер.

2) через три данные точки

Пусть даны три точки A, B и C. Центр O сферы, проходящей через эти точки, должен быть равноудален от них, то есть должно выполняться равенство $OA = OB = OC$.

Рассмотрим два возможных случая расположения этих точек.

Случай 1: Точки A, B и C лежат на одной прямой (коллинеарны).
Из условия $OA = OB$ следует, что центр O должен лежать на срединной перпендикулярной плоскости $\Pi_{AB}$ к отрезку AB. Из условия $OB = OC$ следует, что центр O должен лежать на срединной перпендикулярной плоскости $\Pi_{BC}$ к отрезку BC. Так как точки A, B, C лежат на одной прямой (и, как правило, предполагаются различными), то отрезки AB и BC также лежат на этой прямой. Плоскости $\Pi_{AB}$ и $\Pi_{BC}$ обе перпендикулярны этой прямой, следовательно, они параллельны друг другу. Поскольку они проходят через разные точки (середины отрезков AB и BC), они не совпадают. Параллельные плоскости не пересекаются, значит, не существует точки O, которая принадлежала бы обеим плоскостям одновременно. Таким образом, в этом случае провести сферу невозможно.

Случай 2: Точки A, B и C не лежат на одной прямой (неколлинеарны).
В этом случае точки A, B и C образуют треугольник. Центр сферы O должен лежать на пересечении срединных перпендикулярных плоскостей $\Pi_{AB}$ и $\Pi_{BC}$. Поскольку отрезки AB и BC не параллельны, эти плоскости также не параллельны. Их пересечением является прямая линия L. Любая точка O, лежащая на этой прямой L, будет равноудалена от точек A, B и C (так как из $OA=OB$ и $OB=OC$ следует $OA=OB=OC$). Эта прямая L перпендикулярна плоскости треугольника ABC и проходит через центр его описанной окружности.

Поскольку прямая L состоит из бесконечного множества точек, существует бесконечно много возможных центров для сфер, проходящих через точки A, B и C. Каждой точке на прямой L соответствует своя уникальная сфера.

Таким образом, ответ на вопрос зависит от расположения трех точек. Если в задаче не указано иное, обычно подразумевается общий случай, когда точки не лежат на одной прямой.

Ответ: если три точки лежат на одной прямой, то провести сферу нельзя (0 сфер); если три точки не лежат на одной прямой, то можно провести бесконечно много сфер.

5. Хорда сферы радиусом 15 находится на расстоянии 9 от центра этой сферы. Какую длину имеет хорда?

Для решения этой задачи рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через ее центр и данную хорду. В сечении мы получим окружность, радиус которой равен радиусу сферы, а хорда окружности будет равна хорде сферы.

Пусть $O$ — центр сферы (и окружности в сечении), $R$ — ее радиус, $AB$ — данная хорда, а $d$ — расстояние от центра до хорды. Расстояние от центра до хорды — это длина перпендикуляра $OH$, опущенного из центра $O$ на хорду $AB$.

В сечении мы имеем равнобедренный треугольник $AOB$ (так как $OA = OB = R$). Высота $OH$ в этом треугольнике является также и медианой, поэтому она делит хорду $AB$ пополам: $AH = HB = \frac{L}{2}$, где $L$ — длина хорды $AB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHA$. Его катеты — это расстояние от центра до хорды $OH = d$ и половина длины хорды $AH = \frac{L}{2}$. Гипотенуза — это радиус сферы $OA = R$.

По теореме Пифагора:$OA^2 = OH^2 + AH^2$$R^2 = d^2 + (\frac{L}{2})^2$

Подставим известные значения:$R = 15$$d = 9$

$15^2 = 9^2 + (\frac{L}{2})^2$$225 = 81 + (\frac{L}{2})^2$

Теперь найдем квадрат половины длины хорды:$(\frac{L}{2})^2 = 225 - 81$$(\frac{L}{2})^2 = 144$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти половину длины хорды:$\frac{L}{2} = \sqrt{144}$$\frac{L}{2} = 12$

Полная длина хорды $L$ равна удвоенной длине ее половины:$L = 2 \times 12 = 24$

Ответ: Длина хорды равна 24.

6. Хорда длиной 12 см отстоит от центра сферы на 6 см. Найдите радиус сферы.

Для решения задачи рассмотрим сечение сферы плоскостью, которая проходит через центр сферы и данную хорду. В результате сечения образуется большой круг сферы, радиус которого равен радиусу сферы ($R$), а хорда сферы становится хордой этого круга.

Обозначим центр сферы как $O$, а хорду как $AB$. Расстояние от центра до хорды — это длина перпендикуляра $OM$, опущенного из точки $O$ на хорду $AB$. По условию, $OM = 6$ см. Длина хорды $AB = 12$ см.

Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. Следовательно, точка $M$ является серединой хорды $AB$. Тогда длина отрезка $AM$ равна половине длины хорды $AB$:

$AM = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle OMA$. Он является прямоугольным, так как $OM \perp AB$. Катеты этого треугольника — это отрезок $OM$ (расстояние от центра до хорды, равное 6 см) и отрезок $AM$ (половина длины хорды, равная 6 см). Гипотенуза $OA$ является радиусом сферы $R$.

Применим теорему Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$R^2 = OM^2 + AM^2$

Подставим известные значения в формулу:

$R^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$

Теперь найдем радиус $R$, извлекая квадратный корень из полученного значения:

$R = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Ответ: $6\sqrt{2}$ см.

7. Найдите площадь большого круга и длину экватора шара, если его радиус 2 м.

Для решения задачи воспользуемся известными данными и формулами геометрии.

Дано: радиус шара $R = 2$ м.

Площадь большого круга

Большой круг шара — это сечение шара плоскостью, проходящей через его центр. Радиус большого круга $r$ равен радиусу самого шара. Таким образом, $r = R = 2$ м.

Площадь круга вычисляется по формуле:

$S = \pi r^2$

Подставим значение радиуса в формулу:

$S = \pi \cdot (2 \text{ м})^2 = 4\pi \text{ м}^2$

Ответ: площадь большого круга равна $4\pi \text{ м}^2$.

Длина экватора

Экватор шара является большим кругом, то есть окружностью с радиусом, равным радиусу шара. Длина окружности (экватора) вычисляется по формуле:

$L = 2 \pi r$

Подставим значение радиуса $r = 2$ м:

$L = 2 \cdot \pi \cdot 2 \text{ м} = 4\pi \text{ м}$

Ответ: длина экватора равна $4\pi \text{ м}$.

8. Шар, радиус которого равен $25$ дм, пересечен плоскостью на расстоянии $5$ дм от центра. Найдите площадь сечения.

Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Чтобы найти площадь этого круга, нам необходимо сначала определить его радиус.

Рассмотрим сечение шара, проходящее через его центр и перпендикулярное плоскости сечения. В этом сечении мы увидим окружность (большой круг шара) и хорду (диаметр круга сечения). Радиус шара $R$, расстояние от центра шара до плоскости сечения $d$ и радиус круга сечения $r$ образуют прямоугольный треугольник, где:

• $R$ – гипотенуза (радиус шара),
• $d$ – один катет (расстояние от центра до плоскости),
• $r$ – второй катет (радиус сечения).

По условию задачи, радиус шара $R = 25$ дм, а расстояние от центра до плоскости $d = 5$ дм.

Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения радиуса сечения $r$:

$R^2 = d^2 + r^2$

Отсюда выразим $r^2$:

$r^2 = R^2 - d^2$

Подставим известные значения:

$r^2 = 25^2 - 5^2 = 625 - 25 = 600$ дм$^2$.

Теперь найдем площадь сечения $S$, которая является площадью круга с радиусом $r$. Формула площади круга:

$S = \pi r^2$

Подставим найденное значение $r^2$:

$S = \pi \cdot 600 = 600\pi$ дм$^2$.

Ответ: $600\pi$ дм$^2$.

9. Диаметр шара 38 дм, а плоскость отстоит от его центра на 20 дм. Имеет ли эта плоскость с шаром общие точки?

Для того чтобы определить, имеет ли плоскость общие точки с шаром, необходимо сравнить радиус шара ($R$) с расстоянием от центра шара до плоскости ($d$).

Взаимное расположение плоскости и шара определяется соотношением между $d$ и $R$:

• Если $d < R$, плоскость пересекает шар, и в сечении образуется окружность.

• Если $d = R$, плоскость касается шара в одной точке.

• Если $d > R$, плоскость и шар не имеют общих точек.

По условию задачи дано:

Диаметр шара $D = 38$ дм.

Расстояние от центра шара до плоскости $d = 20$ дм.

Сначала найдем радиус шара. Радиус равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{38}{2} = 19 \text{ дм}$

Теперь сравним вычисленный радиус $R$ с заданным расстоянием $d$:

$R = 19 \text{ дм}$

$d = 20 \text{ дм}$

Так как $20 \text{ дм} > 19 \text{ дм}$, то выполняется неравенство $d > R$.

Поскольку расстояние от центра шара до плоскости больше его радиуса, плоскость проходит вне шара, не пересекая и не касаясь его.

Ответ: нет, эта плоскость не имеет с шаром общих точек.

10. Точки $M$ и $N$ лежат на поверхности шара радиусом 50 см. Найдите расстояние от центра шара до отрезка $MN$, если длина этого отрезка 80 см.

Пусть O — центр шара. Точки M и N лежат на поверхности шара, поэтому отрезки OM и ON являются радиусами шара.
По условию, радиус шара $R = 50$ см, значит $OM = ON = 50$ см.
Рассмотрим треугольник $OMN$. Так как $OM = ON$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $MN$.
Расстояние от центра шара O до отрезка MN — это длина перпендикуляра (высоты) $OH$, проведенного из вершины O к основанию $MN$.

В равнобедренном треугольнике $OMN$ высота $OH$, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, точка H — середина отрезка $MN$.
Найдем длину отрезка $MH$:
$MH = \frac{1}{2} MN$
По условию, длина отрезка $MN = 80$ см, тогда:
$MH = \frac{1}{2} \cdot 80 = 40$ см.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $OHM$ (угол $\angle OHM = 90^\circ$). В этом треугольнике:
- $OM$ — гипотенуза, $OM = 50$ см.
- $MH$ — катет, $MH = 40$ см.
- $OH$ — катет, который нам нужно найти.
По теореме Пифагора: $OM^2 = OH^2 + MH^2$.
Выразим $OH^2$:
$OH^2 = OM^2 - MH^2$
Подставим известные значения:
$OH^2 = 50^2 - 40^2 = 2500 - 1600 = 900$
Найдем $OH$:
$OH = \sqrt{900} = 30$ см.
Таким образом, расстояние от центра шара до отрезка $MN$ равно 30 см.
Ответ: 30 см.

11. Вершины равностороннего треугольника со стороной 10 см лежат на поверхности шара радиусом 10 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a = 10$ см. Вершины этого треугольника лежат на поверхности шара с центром в точке $O$ и радиусом $R = 10$ см. Требуется найти расстояние от центра шара $O$ до плоскости треугольника $ABC$.

Плоскость, в которой лежит треугольник $ABC$, пересекает шар по окружности. Вершины $A$, $B$ и $C$ лежат на этой окружности. Эта окружность является описанной около треугольника $ABC$.

Пусть $O'$ — центр этой окружности (а также центр треугольника $ABC$). Расстояние от центра шара $O$ до плоскости треугольника — это длина перпендикуляра $OO'$, опущенного из точки $O$ на плоскость $(ABC)$. Обозначим это расстояние как $d$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OO'A$. В этом треугольнике:

• Гипотенуза $OA$ — это радиус шара, так как точка $A$ лежит на поверхности шара. $OA = R = 10$ см.
• Катет $OO'$ — это искомое расстояние $d$.
• Катет $O'A$ — это радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника $ABC$. Обозначим его как $r$.

1. Найдем радиус описанной окружности $r$ для равностороннего треугольника.

Формула для радиуса $r$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, имеет вид:

$r = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставляем значение $a = 10$ см:

$r = \frac{10}{\sqrt{3}}$ см.

2. Найдем расстояние $d$ с помощью теоремы Пифагора.

В прямоугольном треугольнике $OO'A$ по теореме Пифагора имеем:

$R^2 = d^2 + r^2$

Отсюда выразим $d^2$:

$d^2 = R^2 - r^2$

Подставим известные значения $R = 10$ и $r = \frac{10}{\sqrt{3}}$:

$d^2 = 10^2 - (\frac{10}{\sqrt{3}})^2 = 100 - \frac{100}{3}$

Приведем к общему знаменателю:

$d^2 = \frac{300 - 100}{3} = \frac{200}{3}$

Теперь найдем $d$, извлекая квадратный корень:

$d = \sqrt{\frac{200}{3}} = \frac{\sqrt{200}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{100 \cdot 2}}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$d = \frac{10\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{6}}{3}$ см.

Ответ: расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно $\frac{10\sqrt{6}}{3}$ см.

12. Стороны ромба, равные 8 см, касаются сферы радиусом 4 см, угол ромба равен $60^\circ$. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости ромба.

Пусть $O$ — центр сферы, а $\pi$ — плоскость ромба. Искомое расстояние — это длина перпендикуляра $h$, опущенного из точки $O$ на плоскость $\pi$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $O'$. Поскольку все стороны ромба касаются сферы, то точки касания равноудалены от центра сферы $O$ (расстояние равно радиусу сферы $R$). Также проекция центра сферы, точка $O'$, будет равноудалена от сторон ромба. В ромбе точкой, равноудаленной от всех сторон, является точка пересечения его диагоналей, которая также является центром вписанной окружности. Расстояние от точки $O'$ до любой стороны ромба равно радиусу вписанной в ромб окружности, который мы обозначим как $r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OO'K$, где $K$ — точка касания одной из сторон ромба со сферой.

В этом треугольнике:
- $OK$ — гипотенуза, равная радиусу сферы $R = 4$ см.
- $OO'$ — катет, равный искомому расстоянию $h$.
- $O'K$ — катет, равный радиусу $r$ вписанной в ромб окружности.
По теореме Пифагора имеем: $R^2 = h^2 + r^2$. Отсюда $h = \sqrt{R^2 - r^2}$.

Найдем радиус $r$ вписанной в ромб окружности. Сторона ромба $a = 8$ см, а острый угол $\alpha = 60^\circ$. Высота ромба $h_{ромба}$ связана с радиусом вписанной окружности соотношением $h_{ромба} = 2r$. Высоту можно найти по формуле $h_{ромба} = a \cdot \sin \alpha$.
Вычисляем высоту:$h_{ромба} = 8 \cdot \sin 60^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.
Теперь находим радиус вписанной окружности:$r = \frac{h_{ромба}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем вычислить искомое расстояние $h$, подставив известные значения $R$ и $r$ в формулу:
$h = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - (4 \cdot 3)} = \sqrt{16 - 12} = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

13. Радиус сферы равен 9 см. Через конец радиуса проведена касательная плоскость к сфере. Найдите длину окружности с центром в точке касания, если ее точки удалены от центра сферы на 41 см.

Решение:

Пусть $O$ — центр сферы, а $A$ — точка на сфере, являющаяся концом радиуса. Тогда радиус сферы $R = OA = 9$ см.

Через точку $A$ проведена касательная плоскость $\alpha$ к сфере. По свойству касательной плоскости, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой плоскости. Таким образом, $OA \perp \alpha$.

В плоскости $\alpha$ находится окружность с центром в точке $A$. Пусть $r$ — радиус этой окружности. Возьмем любую точку $B$ на этой окружности. Тогда $AB = r$.

По условию, расстояние от центра сферы $O$ до любой точки этой окружности (например, до точки $B$) равно 41 см. То есть, $OB = 41$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$. Так как $OA \perp \alpha$, а прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$ и проходит через точку $A$, то $OA \perp AB$. Следовательно, $\triangle OAB$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $A$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OAB$ катетами являются $OA$ и $AB$, а гипотенузой — $OB$. По теореме Пифагора:

$OA^2 + AB^2 = OB^2$

Подставим известные значения:

$9^2 + r^2 = 41^2$

$81 + r^2 = 1681$

$r^2 = 1681 - 81$

$r^2 = 1600$

$r = \sqrt{1600} = 40$ см.

Таким образом, радиус окружности в касательной плоскости равен 40 см.

Теперь найдем длину этой окружности по формуле $C = 2\pi r$:

$C = 2 \cdot \pi \cdot 40 = 80\pi$ см.

Ответ: $80\pi$ см.

14. Найдите радиус сферы, вписанной в куб, ребро которого равно 10 см.

Сфера, вписанная в куб, касается всех шести его граней изнутри. Это означает, что центр сферы совпадает с центром куба, а диаметр сферы, обозначим его $d$, равен расстоянию между противоположными гранями куба. Расстояние между противоположными гранями куба, в свою очередь, равно длине его ребра, которое мы обозначим как $a$.

Для наглядности можно рассмотреть поперечное сечение куба и вписанной в него сферы. Такое сечение, проходящее через центр куба параллельно одной из его граней, представляет собой квадрат (сечение куба) и вписанный в него круг (сечение сферы). Диаметр этого круга равен стороне квадрата.

Из этого следует, что диаметр вписанной сферы равен ребру куба:

$d = a$

По условию задачи, ребро куба $a = 10$ см. Следовательно, диаметр вписанной сферы также равен 10 см:

$d = 10 \text{ см}$

Радиус сферы $r$ по определению равен половине её диаметра:

$r = \frac{d}{2}$

Подставим известное значение диаметра в эту формулу для нахождения радиуса:

$r = \frac{10 \text{ см}}{2} = 5 \text{ см}$

Ответ: 5 см.

15. Найдите радиус сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, стороны которого 6 дм, 8 дм и 5 дм.

Радиус $R$ сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, равен половине его главной диагонали $d$. Диаметр сферы совпадает с диагональю параллелепипеда. Центр описанной сферы находится в точке пересечения диагоналей параллелепипеда.

Квадрат главной диагонали $d$ прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины $a$, ширины $b$ и высоты $c$). Формула для нахождения квадрата диагонали:
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Визуальное представление задачи:

В нашем случае даны стороны параллелепипеда: $a = 6$ дм, $b = 8$ дм и $c = 5$ дм. Подставим эти значения в формулу для нахождения квадрата диагонали:
$d^2 = 6^2 + 8^2 + 5^2$
$d^2 = 36 + 64 + 25$
$d^2 = 100 + 25$
$d^2 = 125$

Теперь найдем длину диагонали $d$, извлекая квадратный корень:
$d = \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$ дм.

Радиус $R$ описанной сферы равен половине диагонали $d$:
$R = \frac{d}{2} = \frac{5\sqrt{5}}{2} = 2.5\sqrt{5}$ дм.

Ответ: $2.5\sqrt{5}$ дм.

16. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно $в$ и наклонено к плоскости основания под углом $\alpha$. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$. Основанием пирамиды является квадрат $ABCD$. Поскольку пирамида правильная, ее высота $SO$ проецируется в центр основания $O$ (точку пересечения диагоналей квадрата). Боковое ребро по условию равно $b$, например, $SA = b$. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания — это угол между ребром $SA$ и его проекцией на плоскость основания $AO$. Таким образом, $\angle SAO = \alpha$.

Рассмотрим диагональное сечение пирамиды, проходящее через вершину $S$ и диагональ основания $AC$. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник $SAC$, в котором $SA = SC = b$. Высота пирамиды $SO$ является также высотой этого треугольника.

Из прямоугольного треугольника $SAO$ найдем высоту пирамиды $SO$ и половину диагонали основания $AO$:

$SO = H = SA \cdot \sin(\angle SAO) = b \sin\alpha$

$AO = SA \cdot \cos(\angle SAO) = b \cos\alpha$

Центр $O_{сф}$ сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на ее высоте $SO$. Обозначим радиус описанной сферы как $R$. По определению, центр сферы равноудален от всех вершин пирамиды. Следовательно, расстояния от $O_{сф}$ до вершин $S$ и $A$ равны радиусу $R$: $O_{сф}S = O_{сф}A = R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AO_{сф}O$. Его катеты — $AO$ и $OO_{сф}$, а гипотенуза — $O_{сф}A = R$.

Мы уже нашли $AO = b \cos\alpha$.

Длину катета $OO_{сф}$ можно выразить через высоту $SO$ и радиус $R$. Так как точка $O_{сф}$ лежит на отрезке $SO$, то $OO_{сф} = |SO - O_{сф}S| = |b \sin\alpha - R|$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $AO_{сф}O$:

$O_{сф}A^2 = AO^2 + OO_{сф}^2$

$R^2 = (b \cos\alpha)^2 + (b \sin\alpha - R)^2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $R$:

$R^2 = b^2 \cos^2\alpha + b^2 \sin^2\alpha - 2Rb \sin\alpha + R^2$

$0 = b^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) - 2Rb \sin\alpha$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$0 = b^2 - 2Rb \sin\alpha$

$2Rb \sin\alpha = b^2$

Поскольку $b \neq 0$ и $\alpha$ — угол в пирамиде (значит $\sin\alpha \neq 0$), мы можем разделить обе части на $2b \sin\alpha$:

$R = \frac{b^2}{2b \sin\alpha} = \frac{b}{2 \sin\alpha}$

Ответ: $R = \frac{b}{2 \sin\alpha}$