Страница 57 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

1. Как изменится объем куба, если его ребро:

1) увеличить в 3 раза;

2) уменьшить в 2 раза?

Объем куба ($V$) вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ – длина его ребра. Эта формула показывает, что объем находится в кубической зависимости от длины ребра. Рассмотрим, как изменение ребра повлияет на объем.

1) увеличить в 3 раза
Пусть $a_1$ – первоначальная длина ребра куба, тогда его первоначальный объем равен $V_1 = a_1^3$.
Если ребро увеличить в 3 раза, то новая длина ребра $a_2$ составит $a_2 = 3 \cdot a_1$.
Новый объем куба $V_2$ будет равен:
$V_2 = (a_2)^3 = (3a_1)^3 = 3^3 \cdot a_1^3 = 27a_1^3$.
Чтобы найти, как изменился объем, найдем отношение нового объема к первоначальному:
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{27a_1^3}{a_1^3} = 27$.
Это означает, что объем увеличился в 27 раз.
Ответ: объем увеличится в 27 раз.

2) уменьшить в 2 раза
Пусть $a_1$ – первоначальная длина ребра куба, а $V_1 = a_1^3$ – его первоначальный объем.
Если ребро уменьшить в 2 раза, то новая длина ребра $a_2$ составит $a_2 = \frac{a_1}{2}$.
Новый объем куба $V_2$ будет равен:
$V_2 = (a_2)^3 = \left(\frac{a_1}{2}\right)^3 = \frac{a_1^3}{2^3} = \frac{a_1^3}{8}$.
Найдем отношение первоначального объема к новому, чтобы узнать, во сколько раз он уменьшился:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{a_1^3}{\frac{a_1^3}{8}} = a_1^3 \cdot \frac{8}{a_1^3} = 8$.
Это означает, что объем уменьшился в 8 раз.
Ответ: объем уменьшится в 8 раз.

2. Прямоугольный металлический бак объемом $30 \text{ см} \times 30 \text{ см} \times 30 \text{ см}$ наполнен водой. Сколько литров воды он содержит?

Для решения этой задачи необходимо выполнить два шага: сначала рассчитать объем бака в кубических сантиметрах, а затем перевести эту величину в литры.
Шаг 1: Вычисление объема бака.
Бак имеет форму прямоугольного параллелепипеда (в данном случае — куба), объем которого $V$ вычисляется как произведение его длины ($a$), ширины ($b$) и высоты ($c$):
$V = a \times b \times c$
Подставляем в формулу данные из условия задачи:
$V = 30 \text{ см} \times 30 \text{ см} \times 30 \text{ см} = 27000 \text{ см}^3$
Таким образом, объем бака составляет 27000 кубических сантиметров.
Шаг 2: Перевод объема в литры.
Нужно знать соотношение между кубическими сантиметрами и литрами. 1 литр по определению равен 1 кубическому дециметру ($1 \text{ дм}^3$). Так как в одном дециметре 10 сантиметров, то:
$1 \text{ л} = 1 \text{ дм}^3 = (10 \text{ см})^3 = 1000 \text{ см}^3$
Теперь, чтобы найти объем в литрах, нужно разделить объем в кубических сантиметрах на 1000:
$V_{\text{в литрах}} = \frac{27000 \text{ см}^3}{1000 \text{ см}^3/\text{л}} = 27 \text{ л}$
Ответ: 27 литров.

3. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого a и b, а высота равна H, если:

1) $a = \sqrt{2} , b = 3\sqrt{5} , H = \sqrt{10} ;$

2) $a = 2\sqrt{3} , b = 5\sqrt{2} , H = \sqrt{6} .$

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение длин его трех измерений: сторон основания $a$, $b$ и высоты $H$. Формула для вычисления объема $V$ выглядит следующим образом: $V = a \cdot b \cdot H$.

1) Найдем объем для $a = \sqrt{2}$, $b = 3\sqrt{5}$, $H = \sqrt{10}$.
Подставляем значения в формулу:
$V = \sqrt{2} \cdot 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}$
Перемножим числовые коэффициенты и подкоренные выражения отдельно, используя свойство $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy}$:
$V = 3 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10}) = 3 \cdot \sqrt{2 \cdot 5 \cdot 10} = 3 \cdot \sqrt{10 \cdot 10} = 3 \cdot \sqrt{100}$
Вычисляем значение корня:
$V = 3 \cdot 10 = 30$
Ответ: 30.

2) Найдем объем для $a = 2\sqrt{3}$, $b = 5\sqrt{2}$, $H = \sqrt{6}$.
Подставляем значения в формулу:
$V = (2\sqrt{3}) \cdot (5\sqrt{2}) \cdot \sqrt{6}$
Перемножим числовые коэффициенты и подкоренные выражения:
$V = (2 \cdot 5) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{6}) = 10 \cdot \sqrt{3 \cdot 2 \cdot 6} = 10 \cdot \sqrt{6 \cdot 6} = 10 \cdot \sqrt{36}$
Вычисляем значение корня:
$V = 10 \cdot 6 = 60$
Ответ: 60.

4. Найдите объем куба, если его диагонали равны $2\sqrt{3}$ см.

Для нахождения объема куба необходимо сначала определить длину его ребра. Обозначим длину ребра куба как $a$, а длину его диагонали как $d$.
Квадрат диагонали куба равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты). Поскольку у куба все ребра равны, то формула для диагонали, полученная по теореме Пифагора в пространстве, выглядит так:
$d^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2$
Отсюда, извлекая квадратный корень, получаем формулу, связывающую диагональ и ребро куба:
$d = a\sqrt{3}$
По условию задачи, диагональ куба $d = 2\sqrt{3}$ см.
Подставим известное значение диагонали в формулу, чтобы найти длину ребра $a$:
$a\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
Чтобы найти $a$, разделим обе части равенства на $\sqrt{3}$:
$a = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$ см.
Таким образом, длина ребра куба равна 2 см.
Теперь, зная длину ребра, мы можем вычислить объем куба ($V$). Объем куба вычисляется как куб длины его ребра по формуле:
$V = a^3$
Подставим найденное значение $a = 2$ см в эту формулу:
$V = 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ см³.
Ответ: 8 см³.

5. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 8 см, 12 см и 18 см.

Найдите ребро куба, объем которого равен объему этого параллелепипеда.

Для решения этой задачи необходимо выполнить два основных шага: сначала вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, а затем, зная, что объем куба равен объему параллелепипеда, найти длину ребра куба.

1. Нахождение объема прямоугольного параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда ($V_п$) вычисляется по формуле произведения его трех измерений (длины, ширины и высоты):

$V_п = a \cdot b \cdot c$

Где $a, b, c$ — измерения параллелепипеда.

По условию дано:

$a = 8$ см

$b = 12$ см

$c = 18$ см

Подставим эти значения в формулу:

$V_п = 8 \cdot 12 \cdot 18 = 96 \cdot 18 = 1728$ см$^3$.

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда равен $1728$ кубическим сантиметрам.

2. Нахождение ребра куба.

В условии сказано, что объем куба ($V_к$) равен объему параллелепипеда:

$V_к = V_п = 1728$ см$^3$.

Объем куба вычисляется по формуле:

$V_к = d^3$, где $d$ — длина ребра куба.

Чтобы найти длину ребра $d$, необходимо извлечь кубический корень из объема куба:

$d = \sqrt[3]{V_к} = \sqrt[3]{1728}$

Вычислим значение корня. Можно заметить, что $10^3 = 1000$ и $20^3 = 8000$, значит, искомое число находится между 10 и 20. Поскольку число 1728 оканчивается на 8, то его кубический корень должен оканчиваться на 2 (так как $2^3 = 8$). Проверим число 12:

$12^3 = 12 \cdot 12 \cdot 12 = 144 \cdot 12 = 1728$.

Следовательно, длина ребра куба равна 12 см.

Ответ: 12 см.

6. Кирпич имеет форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 25 см, 12 см и 6,5 см. Плотность кирпича равна $1,8 \text{ г/см}^3$. Найдите его массу.

Для того чтобы найти массу кирпича, необходимо сначала вычислить его объем. Зная объем и плотность, можно найти массу по формуле $m = \rho \cdot V$, где $m$ – масса, $\rho$ – плотность, а $V$ – объем.

1. Вычисление объема кирпича.

Кирпич имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений (длины, ширины и высоты).

Дано:

• Длина $a = 25$ см
• Ширина $b = 12$ см
• Высота $c = 6,5$ см

Формула для объема:

$V = a \cdot b \cdot c$

Подставляем значения:

$V = 25 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} \cdot 6,5 \text{ см} = 300 \text{ см}^2 \cdot 6,5 \text{ см} = 1950 \text{ см}^3$.

2. Вычисление массы кирпича.

Дано:

• Объем $V = 1950 \text{ см}^3$
• Плотность $\rho = 1,8 \text{ г/см}^3$

Формула для массы:

$m = \rho \cdot V$

Подставляем значения:

$m = 1,8 \text{ г/см}^3 \cdot 1950 \text{ см}^3 = 3510 \text{ г}$.

Для удобства можно перевести граммы в килограммы, зная, что $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$:

$3510 \text{ г} = 3,51 \text{ кг}$.

Ответ: масса кирпича равна 3510 г или 3,51 кг.

7. Найдите объем прямой призмы $ABC A_1 B_1 C_1$, если $\angle ABC = 90^\circ$, $AC = 17$ см, $AB = 15$ см, $AA_1 = 10$ см.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота призмы.

В основании данной призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит треугольник $ABC$. По условию $\angle ABC = 90^\circ$, значит, основание — это прямоугольный треугольник. Его катетами являются стороны $AB$ и $BC$, а гипотенузой — $AC$.

Для нахождения площади основания необходимо знать длины обоих катетов. Нам даны длина катета $AB = 15$ см и гипотенузы $AC = 17$ см. Найдем длину второго катета $BC$ по теореме Пифагора: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.

Выразим квадрат катета $BC$:

$BC^2 = AC^2 - AB^2$

$BC^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$

Отсюда находим длину катета $BC$:

$BC = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь можно вычислить площадь основания призмы, которая равна площади прямоугольного треугольника $ABC$:

$S_{осн} = S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 = 60$ см$^2$.

Поскольку призма прямая, ее высота $H$ равна длине бокового ребра. По условию задачи, $AA_1 = 10$ см, следовательно, $H = 10$ см.

Наконец, находим объем призмы, умножая площадь основания на высоту:

$V = S_{осн} \cdot H = 60 \text{ см}^2 \cdot 10 \text{ см} = 600$ см$^3$.

Ответ: $600$ см$^3$.