Страница 64 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

1. Как изменился объем шара, когда его радиус:

а) увеличился в 2 раза;

б) уменьшился в 3 раза?

Для решения этой задачи нам понадобится формула объема шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $V$ — это объем шара, а $R$ — его радиус. Мы проанализируем, как изменение радиуса влияет на объем.

а) увеличился в 2 раза
Пусть первоначальный радиус шара был $R_1$, а его объем $V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3$.
После увеличения радиус стал $R_2 = 2R_1$.
Теперь вычислим новый объем $V_2$ с новым радиусом $R_2$:
$V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3 = \frac{4}{3}\pi (2R_1)^3 = \frac{4}{3}\pi (8R_1^3)$.
Сравнивая новый объем $V_2$ с первоначальным $V_1$, получаем:
$V_2 = 8 \cdot \left(\frac{4}{3}\pi R_1^3\right) = 8V_1$.
Это означает, что объем шара увеличился в 8 раз.
Ответ: объем увеличился в 8 раз.

б) уменьшился в 3 раза
Пусть первоначальный радиус шара был $R_1$, а его объем $V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3$.
После уменьшения радиус стал $R_2 = \frac{R_1}{3}$.
Вычислим новый объем $V_2$ с новым радиусом $R_2$:
$V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{R_1}{3}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{R_1^3}{27}\right)$.
Сравнивая новый объем $V_2$ с первоначальным $V_1$, получаем:
$V_2 = \frac{1}{27} \cdot \left(\frac{4}{3}\pi R_1^3\right) = \frac{1}{27}V_1$.
Это означает, что объем шара уменьшился в 27 раз.
Ответ: объем уменьшился в 27 раз.

2. Как изменить радиус шара, чтобы:

а) его объем увеличился в 2 раза;

б) уменьшился в 5 раз?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой объема шара. Объем шара $V$ с радиусом $R$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Из этой формулы следует, что объем шара прямо пропорционален кубу его радиуса ($V \propto R^3$). Пусть $V_1$ и $R_1$ — это начальные объем и радиус шара, а $V_2$ и $R_2$ — новые значения после изменения.

Тогда отношение нового объема к начальному будет равно:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_2^3}{\frac{4}{3}\pi R_1^3} = \frac{R_2^3}{R_1^3} = (\frac{R_2}{R_1})^3$

Из этого соотношения мы можем выразить, во сколько раз нужно изменить радиус:

$\frac{R_2}{R_1} = \sqrt[3]{\frac{V_2}{V_1}}$

Теперь рассмотрим каждый из подпунктов.

а)

Требуется, чтобы объем увеличился в 2 раза, то есть $\frac{V_2}{V_1} = 2$.

Подставим это значение в нашу формулу для отношения радиусов:

$\frac{R_2}{R_1} = \sqrt[3]{2}$

Это означает, что новый радиус $R_2$ должен быть в $\sqrt[3]{2}$ раз больше старого радиуса $R_1$.

Ответ: чтобы объем шара увеличился в 2 раза, его радиус необходимо увеличить в $\sqrt[3]{2}$ раз.

б)

Требуется, чтобы объем уменьшился в 5 раз, то есть $\frac{V_2}{V_1} = \frac{1}{5}$.

Подставим это значение в нашу формулу для отношения радиусов:

$\frac{R_2}{R_1} = \sqrt[3]{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{5}} = \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$

Это означает, что новый радиус $R_2$ должен быть в $\sqrt[3]{5}$ раз меньше старого радиуса $R_1$.

Ответ: чтобы объем шара уменьшился в 5 раз, его радиус необходимо уменьшить в $\sqrt[3]{5}$ раз.

3. Какую часть объема куба составляет объем вписанного в него шара?

Чтобы найти, какую часть объема куба составляет объем вписанного в него шара, нужно найти отношение объема шара к объему куба.

Пусть длина ребра куба равна $a$.
Объем куба ($V_{куба}$) вычисляется по формуле:
$V_{куба} = a^3$

Шар является вписанным в куб, если он касается всех шести граней куба. В этом случае диаметр шара ($d$) равен длине ребра куба.
$d = a$

Радиус шара ($R$) равен половине его диаметра:
$R = \frac{d}{2} = \frac{a}{2}$

Объем шара ($V_{шара}$) вычисляется по формуле:
$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим в эту формулу выражение для радиуса $R$ через сторону куба $a$:
$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3}{8} = \frac{4\pi a^3}{24} = \frac{\pi a^3}{6}$

Теперь найдем искомое отношение объемов:
$\frac{V_{шара}}{V_{куба}} = \frac{\frac{\pi a^3}{6}}{a^3}$

Сократив $a^3$ в числителе и знаменателе, получим:
$\frac{V_{шара}}{V_{куба}} = \frac{\pi}{6}$

Ответ: $\frac{\pi}{6}$

4. Из сплошного металлического шара радиусом 20 см выплавили шарики радиусом 1 см. Сколько их получилось?

Для решения этой задачи необходимо найти объемы большого и малого шаров, а затем разделить объем большого шара на объем одного малого шара. Это позволит определить количество малых шариков, которые можно выплавить из большого, так как предполагается, что весь материал большого шара используется без потерь.

Объем шара вычисляется по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $V$ — это объем, а $R$ — это радиус шара.

Сначала найдем объем большого металлического шара. Его радиус $R_{большого} = 20$ см. Подставим это значение в формулу:

$V_{большого} = \frac{4}{3}\pi R_{большого}^3 = \frac{4}{3}\pi (20)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 8000 \text{ см}^3$.

Теперь найдем объем одного маленького шарика. Его радиус $r_{малого} = 1$ см. Подставим это значение в формулу:

$V_{малого} = \frac{4}{3}\pi r_{малого}^3 = \frac{4}{3}\pi (1)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 1 \text{ см}^3$.

Чтобы найти, сколько маленьких шариков $N$ получилось, разделим объем большого шара на объем одного маленького шарика:

$N = \frac{V_{большого}}{V_{малого}} = \frac{\frac{4}{3}\pi \cdot 8000}{\frac{4}{3}\pi \cdot 1}$

Множитель $\frac{4}{3}\pi$ присутствует и в числителе, и в знаменателе, поэтому он сокращается:

$N = \frac{8000}{1} = 8000$

Таким образом, из сплошного металлического шара радиусом 20 см можно выплавить 8000 шариков радиусом 1 см.

Ответ: 8000.

5. Какая часть объема шара радиусом $R$ содержится между его сферой и концентрической с нею сферой радиуса $0,9 R$?

Чтобы найти, какая часть объема шара содержится между его внешней сферой и внутренней концентрической сферой, необходимо найти объем этого шарового слоя и разделить его на полный объем шара.

1. Сначала запишем формулу для объема шара. Объем $V$ шара с радиусом $r$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$

2. Вычислим объем большого шара с радиусом $R$. Обозначим его $V_R$.

$V_R = \frac{4}{3}\pi R^3$

3. Теперь вычислим объем малого (внутреннего) шара с радиусом $r = 0,9 R$. Обозначим его $V_r$.

$V_r = \frac{4}{3}\pi (0,9 R)^3 = \frac{4}{3}\pi (0,9^3 \cdot R^3)$

Посчитаем $0,9^3$:

$0,9^3 = 0,9 \times 0,9 \times 0,9 = 0,81 \times 0,9 = 0,729$

Таким образом, объем внутреннего шара равен:

$V_r = \frac{4}{3}\pi (0,729 R^3) = 0,729 \cdot (\frac{4}{3}\pi R^3)$

4. Объем, содержащийся между двумя сферами ($V_{слоя}$), равен разности объемов большого и малого шаров:

$V_{слоя} = V_R - V_r = \frac{4}{3}\pi R^3 - 0,729 \cdot (\frac{4}{3}\pi R^3)$

Вынесем общий множитель $V_R = \frac{4}{3}\pi R^3$ за скобки:

$V_{слоя} = V_R (1 - 0,729) = 0,271 \cdot V_R$

5. Чтобы найти, какую часть от полного объема составляет объем слоя, нужно разделить объем слоя на полный объем шара:

$\frac{V_{слоя}}{V_R} = \frac{0,271 \cdot V_R}{V_R} = 0,271$

Это значение можно также выразить в процентах, умножив на 100: $0,271 \times 100\% = 27,1\%$.

Ответ: 0,271.

6. Из сплошного металлического шара радиусом $R$ изготовили полый шар, толщина стенок которого $0,1 R$. Каков его внешний радиус?

Поскольку полый шар изготавливается из материала сплошного шара, объем металла сохраняется. Объем исходного сплошного шара радиусом $R$ равен $V_{исх} = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Обозначим искомый внешний радиус нового полого шара как $R_{внеш}$, а его внутренний радиус — как $R_{внутр}$. Согласно условию, толщина стенок шара составляет $t = 0.1 R$. Толщина стенки является разностью между внешним и внутренним радиусами: $t = R_{внеш} - R_{внутр}$. Отсюда мы можем выразить внутренний радиус через внешний: $R_{внутр} = R_{внеш} - t = R_{внеш} - 0.1 R$.

Объем материала в полом шаре равен разности объемов сфер, образованных внешним и внутренним радиусами: $V_{полый} = \frac{4}{3}\pi R_{внеш}^3 - \frac{4}{3}\pi R_{внутр}^3 = \frac{4}{3}\pi (R_{внеш}^3 - R_{внутр}^3)$.

Приравнивая объемы исходного и полого шаров на основе закона сохранения объема, получаем:
$V_{исх} = V_{полый}$
$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (R_{внеш}^3 - R_{внутр}^3)$
Сократив общий множитель $\frac{4}{3}\pi$, получаем равенство:
$R^3 = R_{внеш}^3 - R_{внутр}^3$.

Подставим в это уравнение выражение для внутреннего радиуса $R_{внутр} = R_{внеш} - 0.1 R$:
$R^3 = R_{внеш}^3 - (R_{внеш} - 0.1 R)^3$.

Для решения уравнения раскроем скобки, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:
$R^3 = R_{внеш}^3 - (R_{внеш}^3 - 3R_{внеш}^2(0.1R) + 3R_{внеш}(0.1R)^2 - (0.1R)^3)$
$R^3 = R_{внеш}^3 - R_{внеш}^3 + 0.3 R \cdot R_{внеш}^2 - 0.03 R^2 \cdot R_{внеш} + 0.001 R^3$.

Упростим выражение и приведем его к стандартному виду квадратного уравнения относительно $R_{внеш}$:
$R^3 - 0.001R^3 = 0.3 R \cdot R_{внеш}^2 - 0.03 R^2 \cdot R_{внеш}$
$0.999 R^3 = 0.3 R \cdot R_{внеш}^2 - 0.03 R^2 \cdot R_{внеш}$
Перенесем все члены в одну сторону:
$0.3 R \cdot R_{внеш}^2 - 0.03 R^2 \cdot R_{внеш} - 0.999 R^3 = 0$.
Поскольку радиус $R$ — величина ненулевая, мы можем разделить все уравнение на $R$:
$0.3 R_{внеш}^2 - 0.03 R \cdot R_{внеш} - 0.999 R^2 = 0$.

Для удобства вычислений умножим уравнение на 1000 и разделим на 3:
$100 R_{внеш}^2 - 10 R \cdot R_{внеш} - 333 R^2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение для $R_{внеш}$ с помощью формулы для корней $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $x = R_{внеш}$, $a=100$, $b=-10R$, $c=-333R^2$:
$R_{внеш} = \frac{-(-10R) \pm \sqrt{(-10R)^2 - 4(100)(-333R^2)}}{2 \cdot 100}$
$R_{внеш} = \frac{10R \pm \sqrt{100R^2 + 133200R^2}}{200}$
$R_{внеш} = \frac{10R \pm \sqrt{133300R^2}}{200}$
$R_{внеш} = \frac{10R \pm R\sqrt{133300}}{200} = \frac{10R \pm 10R\sqrt{1333}}{200}$.

Сократив дробь на 10, получим:
$R_{внеш} = \frac{R(1 \pm \sqrt{1333})}{20}$.

Так как радиус должен быть положительной величиной, мы выбираем решение со знаком плюс.

Ответ: $R \frac{1 + \sqrt{1333}}{20}$.

7. Диаметр Земли приблизительно в 4 раза больше диаметра Луны. Сравните объемы Земли и Луны.

Для решения этой задачи примем, что Земля и Луна имеют форму шара. Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ — радиус шара.

Пусть $D_З$ и $R_З$ — диаметр и радиус Земли, а $D_Л$ и $R_Л$ — диаметр и радиус Луны.

По условию задачи, диаметр Земли приблизительно в 4 раза больше диаметра Луны:$D_З \approx 4 \cdot D_Л$

Радиус равен половине диаметра ($R = D/2$). Найдем соотношение радиусов Земли и Луны:$R_З = \frac{D_З}{2} = \frac{4 \cdot D_Л}{2} = 4 \cdot \frac{D_Л}{2} = 4 \cdot R_Л$Это означает, что радиус Земли также в 4 раза больше радиуса Луны.

Теперь найдем отношение объемов Земли ($V_З$) и Луны ($V_Л$):$\frac{V_З}{V_Л} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_З^3}{\frac{4}{3}\pi R_Л^3}$

Сократим общий множитель $\frac{4}{3}\pi$:$\frac{V_З}{V_Л} = \frac{R_З^3}{R_Л^3} = \left(\frac{R_З}{R_Л}\right)^3$

Мы уже знаем, что отношение радиусов $\frac{R_З}{R_Л} = 4$. Подставим это значение в формулу:$\frac{V_З}{V_Л} = 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$

Следовательно, объем Земли приблизительно в 64 раза больше объема Луны.

Ответ: объем Земли приблизительно в 64 раза больше объема Луны.

8. Найдите объем шара, диаметр которого 6 см.

Для того чтобы найти объем шара, необходимо воспользоваться следующей формулой:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $V$ — это объем шара, а $R$ — его радиус.

В условии задачи нам дан диаметр шара $d = 6$ см. Радиус шара равен половине его диаметра. Найдем радиус:

$R = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Теперь, когда мы знаем радиус, мы можем подставить его значение в формулу для вычисления объема:

$V = \frac{4}{3}\pi (3)^3$

Выполним вычисления:

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 27$

Сократим 3 и 27:

$V = 4\pi \cdot 9$

$V = 36\pi \text{ см}^3$

Ответ: $36\pi \text{ см}^3$.

8. Найдите объем шара, диаметр которого 6 см.

9. Объем шара $36 \text{ дм}^3$. Найдите его радиус.

Для нахождения радиуса шара используется формула его объема: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $V$ — это объем, а $R$ — радиус шара.

По условию задачи, объем шара $V = 36$ дм³. В подобных задачах по геометрии часто в условии опускают множитель $\pi$, предполагая, что он сократится в ходе вычислений, что приведет к целочисленному ответу. Исходя из этого, будем считать, что объем шара равен $36\pi$ дм³.

Подставим это значение в формулу объема:

$36\pi = \frac{4}{3}\pi R^3$

Теперь необходимо решить полученное уравнение относительно радиуса $R$. Для начала сократим обе части уравнения на $\pi$:

$36 = \frac{4}{3} R^3$

Далее, выразим $R^3$. Для этого умножим обе части уравнения на 3 и разделим на 4:

$R^3 = \frac{36 \cdot 3}{4}$

Выполним вычисления:

$R^3 = 9 \cdot 3 = 27$

Чтобы найти радиус $R$, извлечем кубический корень из 27:

$R = \sqrt[3]{27}$

$R = 3$

Поскольку объем был дан в кубических дециметрах (дм³), радиус измеряется в дециметрах (дм).

Ответ: 3 дм.

10. Диаметр одного арбуза вдвое больше диаметра другого. Во сколько раз первый арбуз тяжелее второго?

Чтобы определить, во сколько раз один арбуз тяжелее другого, нам нужно найти отношение их масс. Предположим, что арбузы имеют идеальную сферическую форму и одинаковую среднюю плотность $\rho$.

Масса объекта ($m$) вычисляется как произведение его плотности ($\rho$) на объем ($V$):

$m = \rho \cdot V$

Пусть $m_1$ и $d_1$ — масса и диаметр первого арбуза, а $m_2$ и $d_2$ — масса и диаметр второго. По условию, диаметр первого арбуза вдвое больше диаметра второго:

$d_1 = 2 \cdot d_2$

Отношение масс арбузов будет равно отношению их объемов, так как их плотности одинаковы:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{\rho \cdot V_1}{\rho \cdot V_2} = \frac{V_1}{V_2}$

Объем шара ($V$) вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r$ — радиус. Так как радиус равен половине диаметра ($r = d/2$), формулу объема можно выразить через диаметр:

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{d}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{d^3}{8} = \frac{1}{6}\pi d^3$

Теперь найдем отношение объемов первого и второго арбузов:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{6}\pi d_1^3}{\frac{1}{6}\pi d_2^3} = \frac{d_1^3}{d_2^3} = \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^3$

Подставим в это выражение соотношение их диаметров ($d_1 = 2d_2$):

$\frac{m_1}{m_2} = \left(\frac{2d_2}{d_2}\right)^3 = (2)^3 = 8$

Следовательно, первый арбуз тяжелее второго в 8 раз.

Ответ: В 8 раз.