Страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

16. Длины трех измерений прямоугольного параллелепипеда относятся как $3:5:7$. Его полная поверхность равна $568 \text{ дм}^2$. Найдите три его измерения.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a$, $b$ и $c$. Согласно условию задачи, их длины относятся как $3:5:7$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда измерения можно выразить следующим образом:
$a = 3x$ дм
$b = 5x$ дм
$c = 7x$ дм

Формула для вычисления площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда:
$S_{полн.} = 2(ab + ac + bc)$

По условию, полная поверхность $S_{полн.} = 568$ дм². Подставим выражения для измерений и данное значение площади в формулу:
$568 = 2((3x)(5x) + (3x)(7x) + (5x)(7x))$

Решим полученное уравнение:
$568 = 2(15x^2 + 21x^2 + 35x^2)$
$568 = 2(71x^2)$
$568 = 142x^2$

Найдем $x^2$:
$x^2 = \frac{568}{142}$
$x^2 = 4$

Так как $x$ представляет собой коэффициент для длин измерений, он должен быть положительным числом.
$x = \sqrt{4} = 2$

Теперь найдем длины трех измерений параллелепипеда, подставив значение $x = 2$:
Первое измерение: $a = 3x = 3 \cdot 2 = 6$ дм.
Второе измерение: $b = 5x = 5 \cdot 2 = 10$ дм.
Третье измерение: $c = 7x = 7 \cdot 2 = 14$ дм.

Ответ: 6 дм, 10 дм, 14 дм.

17. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник. Его высота равна 18 дм, а основание – 16 дм. Каждое боковое ребро пирамиды равно 20 дм. Найдите высоту пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABC$, основанием которой является равнобедренный треугольник $ABC$. В условии сказано, что высота этого треугольника равна $18$ дм, а его основание — $16$ дм. Пусть $AB$ — основание треугольника $ABC$, тогда $AB = 16$ дм, и высота $CH$, проведенная к $AB$, равна $18$ дм. Боковые стороны треугольника $AC$ и $BC$ равны. Каждое боковое ребро пирамиды равно $l = 20$ дм ($SA = SB = SC = 20$ дм).

Поскольку все боковые ребра пирамиды равны, то ее вершина $S$ проецируется в центр $O$ окружности, описанной около треугольника основания $ABC$. Таким образом, высота пирамиды $H$ — это длина отрезка $SO$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOC$. Его гипотенуза — боковое ребро $SC = l = 20$ дм, один катет — высота пирамиды $H = SO$, а второй катет — радиус $R = OC$ описанной окружности треугольника $ABC$. По теореме Пифагора имеем:$H^2 + R^2 = l^2$Следовательно, для нахождения высоты $H$ нам нужно сначала вычислить радиус $R$ описанной окружности.$H = \sqrt{l^2 - R^2}$

1. Найдем длины сторон треугольника основания.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $CH$, проведенная к основанию $AB$, является также и медианой. Это значит, что точка $H$ делит основание $AB$ пополам.$AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{16}{2} = 8$ дм.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. По теореме Пифагора найдем длину боковой стороны $AC$:$AC^2 = AH^2 + CH^2$$AC = \sqrt{8^2 + 18^2} = \sqrt{64 + 324} = \sqrt{388}$ дм.Таким образом, стороны треугольника основания: $AC = BC = \sqrt{388}$ дм и $AB = 16$ дм.

2. Найдем радиус $R$ описанной окружности основания.

Для вычисления радиуса $R$ описанной окружности воспользуемся формулой $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — длины сторон треугольника, а $S$ — его площадь.

Сначала вычислим площадь треугольника $ABC$:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 18 = 8 \cdot 18 = 144$ дм$^2$.

Теперь подставим известные значения в формулу для радиуса:$R = \frac{AC \cdot BC \cdot AB}{4 S_{ABC}} = \frac{\sqrt{388} \cdot \sqrt{388} \cdot 16}{4 \cdot 144} = \frac{388 \cdot 16}{576}$

Сократим полученную дробь:$R = \frac{388 \cdot 16}{36 \cdot 16} = \frac{388}{36} = \frac{97}{9}$ дм.

3. Найдем высоту пирамиды $H$.

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления высоты пирамиды $H$.$H^2 = l^2 - R^2 = 20^2 - \left(\frac{97}{9}\right)^2 = 400 - \frac{9409}{81}$

Приведем разность к общему знаменателю:$H^2 = \frac{400 \cdot 81}{81} - \frac{9409}{81} = \frac{32400 - 9409}{81} = \frac{22991}{81}$

Извлекая квадратный корень, находим высоту:$H = \sqrt{\frac{22991}{81}} = \frac{\sqrt{22991}}{9}$ дм.

Ответ: $\frac{\sqrt{22991}}{9}$ дм.

18. Основанием пирамиды является прямоугольник. Его стороны равны 24 дм, 18 дм. Каждое боковое ребро пирамиды равно 17 дм. Найдите высоту пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABCD$, в основании которой лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 24$ дм и $BC = 18$ дм. Все боковые ребра пирамиды равны $l = 17$ дм. Высота пирамиды $SO = h$.

Так как все боковые ребра пирамиды равны ($SA = SB = SC = SD$), то вершина пирамиды $S$ проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника центром описанной окружности является точка пересечения его диагоналей. Обозначим эту точку $O$. Таким образом, высота $SO$ опускается в центр прямоугольника $ABCD$.

Для нахождения высоты $h$ рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. В этом треугольнике гипотенузой является боковое ребро $SA$, одним катетом — высота $SO$, а вторым катетом — отрезок $AO$, который равен половине диагонали основания $AC$.

1. Найдем диагональ прямоугольника.Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ в основании. По теореме Пифагора:$AC^2 = AB^2 + BC^2$$AC^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900$$AC = \sqrt{900} = 30$ дм.

2. Найдем длину отрезка $AO$.Точка $O$ делит диагональ $AC$ пополам, следовательно:$AO = \frac{1}{2} AC = \frac{30}{2} = 15$ дм.

3. Найдем высоту пирамиды.Теперь из прямоугольного треугольника $SOA$ по теореме Пифагора найдем катет $SO=h$:$SA^2 = SO^2 + AO^2$$h^2 = SO^2 = SA^2 - AO^2$Подставим известные значения:$h^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$$h = \sqrt{64} = 8$ дм.

Ответ: 8 дм.

19. Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды равна 100 $см^2$. Боковое ребро 13 см. Найдите апофему и площадь боковой поверхности пирамиды.

По условию, нам дана правильная четырехугольная пирамида. Это означает, что в ее основании лежит квадрат, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Площадь основания (квадрата) $S_{осн} = 100$ см².
Длина бокового ребра $l = 13$ см.

Найдем сторону основания ($a$). Так как основание — квадрат, его площадь равна $S_{осн} = a^2$.
$a^2 = 100$ см²
$a = \sqrt{100} = 10$ см.

Найти апофему

Апофема ($h_a$) — это высота боковой грани правильной пирамиды. Рассмотрим боковую грань SBC. Это равнобедренный треугольник с основанием BC=10 см и боковыми сторонами SB = SC = 13 см.
Апофема SM является высотой этого треугольника, а также его медианой. Следовательно, она делит сторону BC пополам: $BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SMB (с прямым углом M).
Гипотенуза — боковое ребро $SB = 13$ см.
Один катет — половина стороны основания $MB = 5$ см.
Другой катет — апофема $SM = h_a$.
По теореме Пифагора: $SB^2 = SM^2 + MB^2$.
$13^2 = h_a^2 + 5^2$
$169 = h_a^2 + 25$
$h_a^2 = 169 - 25$
$h_a^2 = 144$
$h_a = \sqrt{144} = 12$ см.
Ответ: апофема равна 12 см.

Найти площадь боковой поверхности пирамиды

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) правильной пирамиды вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot h_a$, где $P$ — периметр основания, а $h_a$ — апофема.
Периметр основания (квадрата) равен:
$P = 4 \cdot a = 4 \cdot 10 = 40$ см.
Апофема $h_a = 12$ см.
Подставляем значения в формулу:
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 12 = 20 \cdot 12 = 240$ см².
Альтернативный способ: найти площадь одной боковой грани (треугольника) и умножить на количество граней (четыре).
$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ см².
$S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 60 = 240$ см².
Ответ: площадь боковой поверхности пирамиды равна 240 см².

поверхности пирамиды.

20. Полная поверхность правильной четырехугольной пирамиды равна $357 \, \text{см}^2$, а площадь ее основания – $49 \, \text{дм}^2$. Найдите:

1) сторону основания;

2) апофему;

3) боковое ребро пирамиды.

В условии задачи даны полная поверхность правильной четырехугольной пирамиды $S_{полн} = 357 \text{ см}^2$ и площадь ее основания $S_{осн} = 49 \text{ дм}^2$.

Для корректного решения необходимо привести все величины к одной системе измерения. Переведем площадь основания в квадратные сантиметры: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, следовательно, $1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$.

$S_{осн} = 49 \text{ дм}^2 = 49 \times 100 \text{ см}^2 = 4900 \text{ см}^2$.

Получается, что площадь основания ($4900 \text{ см}^2$) больше полной площади поверхности ($357 \text{ см}^2$), что невозможно, так как $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$, а площадь боковой поверхности не может быть отрицательной. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Будем считать, что единицы измерения должны быть одинаковыми, и площадь основания равна $49 \text{ см}^2$.

Итак, принимаем для решения следующие данные: $S_{полн} = 357 \text{ см}^2$ и $S_{осн} = 49 \text{ см}^2$.

1) сторону основания

Так как пирамида правильная четырехугольная, в ее основании лежит квадрат. Площадь квадрата ($S_{осн}$) со стороной $a$ вычисляется по формуле $S_{осн} = a^2$.

Подставим известное значение площади основания:

$a^2 = 49 \text{ см}^2$

Отсюда находим сторону основания $a$:

$a = \sqrt{49} = 7 \text{ см}$

Ответ: 7 см.

2) апофему

Полная площадь поверхности пирамиды является суммой площади основания и площади боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

Выразим и найдем площадь боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{бок} = S_{полн} - S_{осн} = 357 \text{ см}^2 - 49 \text{ см}^2 = 308 \text{ см}^2$

Боковая поверхность правильной четырехугольной пирамиды состоит из четырех одинаковых равнобедренных треугольников. Площадь одной боковой грани ($S_{грани}$) равна:

$S_{грани} = \frac{S_{бок}}{4} = \frac{308}{4} = 77 \text{ см}^2$

Площадь треугольной грани также вычисляется по формуле $S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $a$ – сторона основания, а $h_a$ – апофема (высота боковой грани).

Подставим известные значения и найдем апофему $h_a$:

$77 = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot h_a$

$154 = 7 \cdot h_a$

$h_a = \frac{154}{7} = 22 \text{ см}$

Ответ: 22 см.

3) боковое ребро пирамиды

Боковое ребро пирамиды ($l$), ее апофема ($h_a$) и половина стороны основания ($a/2$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике боковое ребро $l$ является гипотенузой, а апофема $h_a$ и половина стороны основания $a/2$ – катетами.

По теореме Пифагора: $l^2 = h_a^2 + (\frac{a}{2})^2$.

Подставим известные значения: $a = 7 \text{ см}$ и $h_a = 22 \text{ см}$.

$l^2 = 22^2 + (\frac{7}{2})^2 = 484 + (3.5)^2 = 484 + 12.25 = 496.25$

Теперь найдем длину бокового ребра $l$:

$l = \sqrt{496.25} \text{ см}$

Это значение можно также представить в виде дроби: $496.25 = \frac{1985}{4}$, тогда $l = \sqrt{\frac{1985}{4}} = \frac{\sqrt{1985}}{2} \text{ см}$.

Ответ: $\sqrt{496.25}$ см (или $\frac{\sqrt{1985}}{2}$ см).

21. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 12 дм, а боковое ребро – 15 дм. Через середину ее высоты проведена секущая плоскость параллельно основанию пирамиды. Найдите площадь сечения.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, где S — вершина, а ABCD — квадратное основание. Высота пирамиды — SO, где O — центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата).

По условию задачи известны:

• Сторона основания $a = 12$ дм.
• Боковое ребро $l = 15$ дм.

Через середину высоты SO проведена секущая плоскость, параллельная основанию. Обозначим точку пересечения этой плоскости с высотой как O'. Таким образом, $SO' = \frac{1}{2}SO$.

Изобразим пирамиду и сечение на рисунке:

Сечение, образованное плоскостью, параллельной основанию, является многоугольником, подобным основанию. Так как основание пирамиды — квадрат, то сечение A'B'C'D' также является квадратом.

Секущая плоскость отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду SA'B'C'D', которая подобна большой пирамиде SABCD. Коэффициент подобия $k$ этих пирамид равен отношению их высот:

$k = \frac{SO'}{SO}$

По условию, секущая плоскость проведена через середину высоты, следовательно:

$SO' = \frac{1}{2} SO$

Тогда коэффициент подобия равен:

$k = \frac{\frac{1}{2}SO}{SO} = \frac{1}{2}$

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Пусть $S_{сеч}$ — площадь сечения, а $S_{осн}$ — площадь основания. Тогда:

$\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

Сначала найдем площадь основания. Основание — это квадрат со стороной $a = 12$ дм.

$S_{осн} = a^2 = 12^2 = 144$ дм$^2$

Теперь можем вычислить площадь сечения:

$S_{сеч} = S_{осн} \cdot \frac{1}{4} = 144 \cdot \frac{1}{4} = 36$ дм$^2$

Заметим, что длина бокового ребра (15 дм) является избыточной информацией и не требуется для решения задачи.

Ответ: 36 дм$^2$.

22. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равны 18 дм, а высота пирамиды — 26 дм. Через середину бокового ребра пирамиды проведена секущая плоскость параллельно основанию. Найдите площадь сечения.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $VABC$, где $ABC$ – равносторонний треугольник в основании, а $V$ – вершина пирамиды. Сторона основания $a = AB = BC = CA = 18$ дм. Высота пирамиды $H = VO = 26$ дм, где $O$ – центр основания (точка пересечения медиан, биссектрис и высот треугольника $ABC$).

Через середину бокового ребра, например, ребра $VA$, проведена секущая плоскость, параллельная основанию $ABC$. Обозначим эту точку середины как $M$.

Сечение, параллельное основанию, является многоугольником, подобным основанию. Так как основание – равносторонний треугольник, то и сечение будет равносторонним треугольником. Обозначим его $A'B'C'$.

Секущая плоскость отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду $VA'B'C'$, подобную исходной пирамиде $VABC$. Коэффициент подобия $k$ этих пирамид равен отношению их высот или отношению длин соответственных ребер.

По условию, секущая плоскость проходит через точку $M$ – середину бокового ребра $VA$. Следовательно, $VM = \frac{1}{2} VA$. Так как пирамиды подобны, отношение их соответственных ребер равно коэффициенту подобия: $k = \frac{VM}{VA} = \frac{1}{2}$.

Стоит отметить, что высота меньшей пирамиды $VO'$ также будет вдвое меньше высоты исходной пирамиды $VO$: $VO' = \frac{1}{2} VO$. Информация о высоте $H = 26$ дм является избыточной для нахождения площади сечения, так как положение секущей плоскости задано относительно бокового ребра.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{сечения}}{S_{основания}} = k^2$

Сначала найдем площадь основания $S_{основания}$. Основание – это равносторонний треугольник со стороной $a = 18$ дм. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны основания: $S_{основания} = \frac{18^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{324 \sqrt{3}}{4} = 81\sqrt{3}$ дм$^2$.

Теперь найдем площадь сечения $S_{сечения}$, используя найденный коэффициент подобия $k = \frac{1}{2}$: $S_{сечения} = S_{основания} \cdot k^2 = 81\sqrt{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 81\sqrt{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{81\sqrt{3}}{4}$ дм$^2$.

Площадь сечения можно также вычислить, найдя сначала сторону сечения $a'$. Сторона сечения $a'$ относится к стороне основания $a$ так же, как и коэффициент подобия: $a' = a \cdot k = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ дм.

Тогда площадь сечения (равностороннего треугольника со стороной 9 дм) равна: $S_{сечения} = \frac{(a')^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{9^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{81\sqrt{3}}{4}$ дм$^2$.

Ответ: $\frac{81\sqrt{3}}{4}$ дм$^2$.

23. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 14 дм, а боковое ребро с плоскостью ее основания образует угол $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC, где ABC – равносторонний треугольник в основании, а S – вершина пирамиды. Сторона основания $a = AB = BC = AC = 14$ дм. Высота пирамиды SO, где O – центр треугольника ABC, который также является центром вписанной и описанной окружностей.

Угол между боковым ребром (например, SA) и плоскостью основания (ABC) – это угол между ребром SA и его проекцией на плоскость основания, то есть отрезком OA. По условию, $\angle SAO = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAO$ ( $\angle SOA = 90^\circ$ ). Так как один из острых углов равен $45^\circ$, то треугольник является равнобедренным. Следовательно, высота пирамиды $SO$ равна радиусу описанной окружности основания $OA$. $SO = OA$.

Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ Подставим значение $a = 14$ дм: $OA = R = \frac{14}{\sqrt{3}}$ дм. Значит, высота пирамиды $H = SO = \frac{14}{\sqrt{3}}$ дм.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды $S_{бок}$ можно найти по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a$ где $P$ – периметр основания, а $h_a$ – апофема (высота боковой грани).

Периметр основания $P = 3a = 3 \cdot 14 = 42$ дм.

Для нахождения апофемы $h_a$ (обозначим ее SM, где M – середина стороны BC), рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$. Гипотенуза SM – это апофема, катеты – высота пирамиды SO и радиус вписанной окружности OM.

Радиус $r$ окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ $OM = r = \frac{14}{2\sqrt{3}} = \frac{7}{\sqrt{3}}$ дм.

По теореме Пифагора для $\triangle SOM$: $SM^2 = SO^2 + OM^2$ $h_a^2 = \left(\frac{14}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{7}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{196}{3} + \frac{49}{3} = \frac{245}{3}$ $h_a = \sqrt{\frac{245}{3}} = \sqrt{\frac{49 \cdot 5}{3}} = \frac{7\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{5} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{15}}{3}$ дм.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot \frac{7\sqrt{15}}{3} = 21 \cdot \frac{7\sqrt{15}}{3} = 7 \cdot 7\sqrt{15} = 49\sqrt{15}$ дм².

Ответ: $49\sqrt{15}$ дм².

24. Высота пирамиды равна 13 м. Площадь основания 576 $ \text{м}^2 $. На каком расстоянии от основания находится сечение, параллельное ему, если площадь сечения 144 $ \text{м}^2 $?

Для решения этой задачи используется свойство сечения пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Такое сечение отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду, которая подобна исходной.
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. В данном случае, коэффициент подобия равен отношению высот малой и большой пирамид.

Введем обозначения:
$H$ – высота исходной пирамиды, $H = 13$ м.
$S_{осн}$ – площадь основания исходной пирамиды, $S_{осн} = 576$ м².
$S_{сеч}$ – площадь сечения, $S_{сеч} = 144$ м².
$h$ – высота отсеченной (меньшей) пирамиды, то есть расстояние от вершины до плоскости сечения.
$d$ – искомое расстояние от основания до сечения.

Математически это свойство выражается следующей формулой:
$\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = \left(\frac{h}{H}\right)^2$

Подставим в формулу известные значения:
$\frac{144}{576} = \left(\frac{h}{13}\right)^2$

Упростим дробь в левой части уравнения. Можно заметить, что $576 = 4 \times 144$.
$\frac{144}{576} = \frac{1}{4}$
Таким образом, уравнение принимает вид:
$\frac{1}{4} = \left(\frac{h}{13}\right)^2$

Чтобы найти отношение высот, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку высота является положительной величиной, мы рассматриваем только арифметический корень.
$\sqrt{\frac{1}{4}} = \sqrt{\left(\frac{h}{13}\right)^2}$
$\frac{1}{2} = \frac{h}{13}$

Теперь найдем высоту меньшей пирамиды $h$:
$h = 13 \cdot \frac{1}{2} = 6.5$ м.

Полученное значение $h = 6.5$ м – это расстояние от вершины пирамиды до плоскости сечения. В задаче требуется найти расстояние от основания до сечения. Это расстояние $d$ равно разности полной высоты пирамиды $H$ и высоты меньшей пирамиды $h$:
$d = H - h$
$d = 13 - 6.5 = 6.5$ м.

Ответ: 6.5 м.

25. Основание пирамиды – ромб с диагоналями 24 см и 18 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба и равна 11см. Найдите площади диагональных сечений.

По условию, в основании пирамиды лежит ромб с диагоналями $d_1 = 24$ см и $d_2 = 18$ см. Высота пирамиды $H$ проходит через точку пересечения диагоналей ромба и равна $11$ см.

Диагональное сечение пирамиды — это сечение плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ её основания. Так как у ромба две диагонали, то у данной пирамиды есть два диагональных сечения. Каждое такое сечение является треугольником, основанием которого служит диагональ ромба, а высотой — высота пирамиды (поскольку высота пирамиды по условию перпендикулярна основанию, а значит и любой прямой в плоскости основания, проходящей через ее основание).

Площадь треугольника находится по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — основание, а $h$ — высота.

Площадь первого диагонального сечения

Основанием этого сечения является первая диагональ ромба $d_1 = 24$ см. Высотой сечения является высота пирамиды $H = 11$ см.Вычислим площадь $S_1$:

$S_1 = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot H = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 11 = 12 \cdot 11 = 132$ см².

Площадь второго диагонального сечения

Основанием этого сечения является вторая диагональ ромба $d_2 = 18$ см. Высотой сечения также является высота пирамиды $H = 11$ см.Вычислим площадь $S_2$:

$S_2 = \frac{1}{2} \cdot d_2 \cdot H = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 11 = 9 \cdot 11 = 99$ см².

Ответ: площади диагональных сечений равны 132 см² и 99 см².

26. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 12 см, боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите площади диагональных сечений.

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S и основанием ABCDEF. Пусть O — центр основания. По условию, сторона основания $a = 12$ см. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания — это угол между боковым ребром (например, SA) и его проекцией на плоскость основания (OA). Таким образом, $\angle SAO = 45^\circ$.

Для решения задачи сначала найдем высоту пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник SAO, в котором SO — высота пирамиды $H$, а катет AO — это радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника в основании. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне, следовательно, $AO = a = 12$ см.

Высоту пирамиды $H$ можно найти из треугольника SAO:

$H = SO = AO \cdot \tan(\angle SAO) = 12 \cdot \tan(45^\circ) = 12 \cdot 1 = 12$ см.

В правильной шестиугольной пирамиде существует два типа диагональных сечений, так как у правильного шестиугольника есть два типа диагоналей: большие и малые.

Площадь большего диагонального сечения

Большее диагональное сечение — это треугольник, проходящий через большую диагональ основания (например, AD) и вершину пирамиды S. Таким сечением является равнобедренный треугольник SAD.

Основание этого треугольника — большая диагональ $AD$. Ее длина равна двум сторонам основания: $d_1 = AD = 2a = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Высотой треугольника SAD, проведенной из вершины S, является высота пирамиды $SO$, так как $SO \perp AD$. Таким образом, высота сечения равна $H = 12$ см.

Площадь большего диагонального сечения $S_1$ вычисляется по формуле площади треугольника:

$S_1 = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 12 = 144$ см$^2$.

Ответ: $144$ см$^2$.

Площадь меньшего диагонального сечения

Меньшее диагональное сечение — это треугольник, проходящий через меньшую диагональ основания (например, AC) и вершину пирамиды S. Таким сечением является равнобедренный треугольник SAC.

Основание этого треугольника — меньшая диагональ $AC$. Длину меньшей диагонали правильного шестиугольника можно найти по формуле $d_2 = a\sqrt{3}$.

$d_2 = AC = 12\sqrt{3}$ см.

Боковыми сторонами треугольника SAC являются боковые ребра пирамиды SA и SC. Найдем длину бокового ребра из прямоугольного треугольника SAO по теореме Пифагора:

$SA^2 = AO^2 + SO^2 = 12^2 + 12^2 = 144 + 144 = 288$.

$SA = \sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = 12\sqrt{2}$ см.

Для нахождения площади треугольника SAC проведем в нем высоту SK к основанию AC. Поскольку треугольник SAC равнобедренный ($SA=SC$), высота SK является также и медианой, поэтому точка K — середина отрезка AC.

$AK = \frac{AC}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SKA. По теореме Пифагора найдем высоту SK:

$SK^2 = SA^2 - AK^2 = (12\sqrt{2})^2 - (6\sqrt{3})^2 = 288 - (36 \cdot 3) = 288 - 108 = 180$.

$SK = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ см.

Теперь можем найти площадь меньшего диагонального сечения $S_2$:

$S_2 = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{5} = 6\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{5} = 36\sqrt{15}$ см$^2$.

Ответ: $36\sqrt{15}$ см$^2$.

27. Радиус цилиндра 6 см, а высота 9 см. Найдите длину диагонали осевого сечения цилиндра.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h$, а другая — диаметру его основания $d$.

По условию задачи даны:

• Радиус цилиндра $r = 6$ см.
• Высота цилиндра $h = 9$ см.

Сначала найдем диаметр основания цилиндра. Диаметр равен удвоенному радиусу:

$d = 2r = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Таким образом, осевое сечение — это прямоугольник со сторонами 9 см и 12 см. Диагональ этого прямоугольника является искомой величиной.

Диагональ $D$ осевого сечения можно найти по теореме Пифагора, так как она является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого служат высота $h$ и диаметр $d$ цилиндра.

$D^2 = h^2 + d^2$

Подставим известные значения в формулу:

$D^2 = 9^2 + 12^2$

$D^2 = 81 + 144$

$D^2 = 225$

Теперь найдем длину диагонали, извлекая квадратный корень:

$D = \sqrt{225}$

$D = 15$ см.

Ответ: 15 см.

28. Радиус цилиндра 12 см, диагональ осевого сечения 30 см. Найдите:

а) высоту цилиндра;

б) площадь осевого сечения;

в) площадь боковой поверхности;

г) площадь поверхности цилиндра.

По условию задачи, радиус основания цилиндра $r = 12$ см, а диагональ осевого сечения $d = 30$ см.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h$, а другая - диаметру основания $D$. Диагональ этого прямоугольника является диагональю осевого сечения.

Найдем диаметр основания цилиндра:

$D = 2r = 2 \cdot 12 = 24$ см.

а) высоту цилиндра

Высоту цилиндра $h$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h$, диаметром $D$ и диагональю осевого сечения $d$. По теореме Пифагора:

$d^2 = h^2 + D^2$

Отсюда выразим высоту $h$:

$h^2 = d^2 - D^2$

$h = \sqrt{d^2 - D^2}$

Подставим известные значения:

$h = \sqrt{30^2 - 24^2} = \sqrt{900 - 576} = \sqrt{324} = 18$ см.

Ответ: высота цилиндра равна 18 см.

б) площадь осевого сечения

Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ - это площадь прямоугольника со сторонами $D$ и $h$.

$S_{сеч} = D \cdot h$

Подставим найденные значения:

$S_{сеч} = 24 \cdot 18 = 432$ см$^2$.

Ответ: площадь осевого сечения равна 432 см$^2$.

в) площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле:

$S_{бок} = 2\pi rh$

Подставим известные значения:

$S_{бок} = 2\pi \cdot 12 \cdot 18 = 432\pi$ см$^2$.

Ответ: площадь боковой поверхности равна $432\pi$ см$^2$.

г) площадь поверхности цилиндра

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ равна сумме площади боковой поверхности и площадей двух оснований. Площадь одного основания $S_{осн}$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi r^2$

$S_{осн} = \pi \cdot 12^2 = 144\pi$ см$^2$.

Площадь полной поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

$S_{полн} = 432\pi + 2 \cdot 144\pi = 432\pi + 288\pi = 720\pi$ см$^2$.

Ответ: площадь поверхности цилиндра равна $720\pi$ см$^2$.

29. Стороны прямоугольника 7 см и 9 см. Найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении этого прямоугольника вокруг большей стороны.

При вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон образуется тело вращения, которое является цилиндром. По условию задачи, вращение происходит вокруг большей стороны.

Стороны прямоугольника равны 7 см и 9 см. Большая сторона, которая является осью вращения, определяет высоту цилиндра ($h$), а меньшая сторона определяет радиус его основания ($r$).

Следовательно, параметры полученного цилиндра:

• Высота $h = 9$ см
• Радиус основания $r = 7$ см

Ниже представлена схема образования цилиндра при вращении прямоугольника.

Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и площадей двух оснований ($2 \cdot S_{осн}$).

Формула для площади боковой поверхности: $S_{бок} = 2\pi rh$.

Формула для площади одного основания (круга): $S_{осн} = \pi r^2$.

Таким образом, формула для площади полной поверхности цилиндра:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(h+r)$

Подставим числовые значения $h=9$ см и $r=7$ см в формулу:

$S_{полн} = 2\pi \cdot 7 \cdot (9 + 7)$

$S_{полн} = 14\pi \cdot 16$

$S_{полн} = 224\pi \text{ см}^2$

Ответ: $224\pi \text{ см}^2$.

30. Площадь поверхности и площадь боковой поверхности цилиндра равны 68 $\pi \text{см}^2$ и 50 $\pi \text{см}^2$. Найдите радиус и высоту цилиндра.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота.

Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и площади двух оснований ($2S_{осн}$). Формула имеет вид:$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

По условию задачи даны:$S_{полн} = 68\pi \, \text{см}^2$$S_{бок} = 50\pi \, \text{см}^2$

Сначала найдем площадь двух оснований, вычитая из площади полной поверхности площадь боковой поверхности:$2S_{осн} = S_{полн} - S_{бок} = 68\pi - 50\pi = 18\pi \, \text{см}^2$

Следовательно, площадь одного основания равна:$S_{осн} = \frac{18\pi}{2} = 9\pi \, \text{см}^2$

Площадь основания цилиндра (круга) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$. Используя это, найдем радиус $r$:$\pi r^2 = 9\pi$$r^2 = 9$Поскольку радиус является положительной величиной, $r = 3 \, \text{см}$.

Теперь, зная радиус, найдем высоту $h$ из формулы для площади боковой поверхности $S_{бок} = 2\pi rh$:$50\pi = 2\pi \cdot 3 \cdot h$$50\pi = 6\pi h$$h = \frac{50\pi}{6\pi} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3} \, \text{см}$.

Ответ: радиус цилиндра равен $3 \, \text{см}$, а высота — $\frac{25}{3} \, \text{см}$ (или $8\frac{1}{3} \, \text{см}$).

31. Дан цилиндр радиусом 6 см и высотой 10 см. Параллельно его оси проводится сечение на расстоянии 4 см от оси. Найдите площадь и периметр сечения.

По условию задачи, дан цилиндр с радиусом основания $R = 6$ см и высотой $H = 10$ см. Сечение проводится параллельно оси цилиндра на расстоянии $d = 4$ см от нее.

Такое сечение представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а другая сторона, обозначим ее $w$, является хордой окружности основания цилиндра.

Для нахождения длины хорды $w$ рассмотрим основание цилиндра. Мы имеем окружность радиусом $R = 6$ см. Хорда $w$ находится на расстоянии $d = 4$ см от центра окружности. Радиус, проведенный к концу хорды, сама хорда и перпендикуляр от центра к хорде образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• гипотенуза — это радиус окружности $R$;
• один катет — это расстояние от центра до хорды $d$;
• второй катет — это половина длины хорды $w/2$.

По теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + (w/2)^2$.

Подставим известные значения и найдем половину хорды:

$6^2 = 4^2 + (w/2)^2$

$36 = 16 + (w/2)^2$

$(w/2)^2 = 36 - 16 = 20$

$w/2 = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ см.

Тогда полная длина хорды (ширина сечения) равна:

$w = 2 \cdot (2\sqrt{5}) = 4\sqrt{5}$ см.

Теперь мы можем найти площадь и периметр прямоугольного сечения со сторонами $H=10$ см и $w=4\sqrt{5}$ см.

Найдите площадь сечения

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = H \cdot w$.

$S = 10 \cdot 4\sqrt{5} = 40\sqrt{5}$ см².

Ответ: Площадь сечения равна $40\sqrt{5}$ см².

Найдите периметр сечения

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(H + w)$.

$P = 2(10 + 4\sqrt{5}) = 20 + 8\sqrt{5}$ см.

Ответ: Периметр сечения равен $20 + 8\sqrt{5}$ см.

32. Высота цилиндра 15 см, радиус 13 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и отстоящей от нее на 12 см.

По условию задачи, высота цилиндра $H = 15$ см, а радиус его основания $R = 13$ см.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а другая сторона, обозначим ее $w$, является хордой окружности основания цилиндра.

Площадь этого прямоугольника (сечения) вычисляется по формуле: $S = w \times H$

Чтобы найти площадь сечения, нам необходимо определить длину хорды $w$.

Рассмотрим основание цилиндра. Это круг с центром O и радиусом $R = 13$ см. Секущая плоскость находится на расстоянии $d = 12$ см от оси цилиндра. Это расстояние равно перпендикуляру, опущенному из центра основания O на хорду $w$.

Нарисуем вид сверху на основание цилиндра:

Радиус $R$, проведенный к одному из концов хорды, расстояние $d$ от центра до хорды и половина хорды $\frac{w}{2}$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• гипотенуза - это радиус $R$;
• один катет - это расстояние $d$;
• второй катет - это половина хорды $\frac{w}{2}$.

По теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + (\frac{w}{2})^2$

Выразим и найдем половину хорды: $(\frac{w}{2})^2 = R^2 - d^2$ $(\frac{w}{2})^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$ $\frac{w}{2} = \sqrt{25} = 5$ см

Следовательно, полная длина хорды $w$ равна: $w = 2 \times 5 = 10$ см

Теперь мы можем найти площадь сечения (прямоугольника), зная обе его стороны: высоту $H = 15$ см и ширину $w = 10$ см. $S = w \times H = 10 \text{ см} \times 15 \text{ см} = 150 \text{ см}^2$

Ответ: $150 \text{ см}^2$.