Номер 31, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

31. Дан цилиндр радиусом 6 см и высотой 10 см. Параллельно его оси проводится сечение на расстоянии 4 см от оси. Найдите площадь и периметр сечения.

По условию задачи, дан цилиндр с радиусом основания $R = 6$ см и высотой $H = 10$ см. Сечение проводится параллельно оси цилиндра на расстоянии $d = 4$ см от нее.

Такое сечение представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а другая сторона, обозначим ее $w$, является хордой окружности основания цилиндра.

Для нахождения длины хорды $w$ рассмотрим основание цилиндра. Мы имеем окружность радиусом $R = 6$ см. Хорда $w$ находится на расстоянии $d = 4$ см от центра окружности. Радиус, проведенный к концу хорды, сама хорда и перпендикуляр от центра к хорде образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• гипотенуза — это радиус окружности $R$;
• один катет — это расстояние от центра до хорды $d$;
• второй катет — это половина длины хорды $w/2$.

По теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + (w/2)^2$.

Подставим известные значения и найдем половину хорды:

$6^2 = 4^2 + (w/2)^2$

$36 = 16 + (w/2)^2$

$(w/2)^2 = 36 - 16 = 20$

$w/2 = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ см.

Тогда полная длина хорды (ширина сечения) равна:

$w = 2 \cdot (2\sqrt{5}) = 4\sqrt{5}$ см.

Теперь мы можем найти площадь и периметр прямоугольного сечения со сторонами $H=10$ см и $w=4\sqrt{5}$ см.

Найдите площадь сечения

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = H \cdot w$.

$S = 10 \cdot 4\sqrt{5} = 40\sqrt{5}$ см².

Ответ: Площадь сечения равна $40\sqrt{5}$ см².

Найдите периметр сечения

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(H + w)$.

$P = 2(10 + 4\sqrt{5}) = 20 + 8\sqrt{5}$ см.

Ответ: Периметр сечения равен $20 + 8\sqrt{5}$ см.