Номер 33, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

33. Радиус основания цилиндра равен 10 см, а высота — 7 см. В цилиндре проведены два сечения, параллельные между собой и параллельные оси. Площади этих сечений 112 и 84 см². Найдите расстояние между сечениями.

По условию задачи, радиус основания цилиндра $R = 10$ см, а высота $H = 7$ см. Сечения параллельны оси цилиндра, следовательно, они представляют собой прямоугольники. Одна сторона каждого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а другая — хорде в основании цилиндра.

Пусть $S_1 = 112$ см² и $S_2 = 84$ см² — площади сечений, а $l_1$ и $l_2$ — длины соответствующих хорд в основании цилиндра.

Площадь сечения вычисляется по формуле $S = l \cdot H$. Найдем длины хорд:

Для первого сечения: $l_1 = \frac{S_1}{H} = \frac{112}{7} = 16$ см.

Для второго сечения: $l_2 = \frac{S_2}{H} = \frac{84}{7} = 12$ см.

Теперь задача сводится к нахождению расстояния между двумя параллельными хордами длиной 16 см и 12 см в круге радиусом 10 см. Расстояние между сечениями равно расстоянию между этими хордами в плоскости основания.

Найдем расстояние от центра основания до каждой из хорд. Пусть $d_1$ и $d_2$ — расстояния от центра окружности до хорд $l_1$ и $l_2$ соответственно. Это расстояние можно найти с помощью теоремы Пифагора, рассматривая прямоугольный треугольник, образованный радиусом, половиной хорды и перпендикуляром от центра к хорде (который и является искомым расстоянием).

Для хорды $l_1 = 16$ см:

Половина хорды равна $\frac{l_1}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.
По теореме Пифагора: $R^2 = d_1^2 + (\frac{l_1}{2})^2$.
$10^2 = d_1^2 + 8^2$
$100 = d_1^2 + 64$
$d_1^2 = 36$
$d_1 = 6$ см.

Для хорды $l_2 = 12$ см:

Половина хорды равна $\frac{l_2}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.
По теореме Пифагора: $R^2 = d_2^2 + (\frac{l_2}{2})^2$.
$10^2 = d_2^2 + 6^2$
$100 = d_2^2 + 36$
$d_2^2 = 64$
$d_2 = 8$ см.

Существует два возможных варианта расположения хорд (и, соответственно, сечений) относительно оси цилиндра.

Случай 1: Сечения расположены по одну сторону от оси цилиндра.

В этом случае расстояние между хордами равно разности расстояний от центра до каждой хорды.

Расстояние $= |d_2 - d_1| = |8 - 6| = 2$ см.

Ответ: 2 см.

Случай 2: Сечения расположены по разные стороны от оси цилиндра.

В этом случае расстояние между хордами равно сумме расстояний от центра до каждой хорды.

Расстояние $= d_1 + d_2 = 6 + 8 = 14$ см.

Ответ: 14 см.

Поскольку в условии задачи не указано, как расположены сечения относительно оси, задача имеет два возможных решения.