Страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

33. Радиус основания цилиндра равен 10 см, а высота — 7 см. В цилиндре проведены два сечения, параллельные между собой и параллельные оси. Площади этих сечений 112 и 84 см². Найдите расстояние между сечениями.

По условию задачи, радиус основания цилиндра $R = 10$ см, а высота $H = 7$ см. Сечения параллельны оси цилиндра, следовательно, они представляют собой прямоугольники. Одна сторона каждого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а другая — хорде в основании цилиндра.

Пусть $S_1 = 112$ см² и $S_2 = 84$ см² — площади сечений, а $l_1$ и $l_2$ — длины соответствующих хорд в основании цилиндра.

Площадь сечения вычисляется по формуле $S = l \cdot H$. Найдем длины хорд:

Для первого сечения: $l_1 = \frac{S_1}{H} = \frac{112}{7} = 16$ см.

Для второго сечения: $l_2 = \frac{S_2}{H} = \frac{84}{7} = 12$ см.

Теперь задача сводится к нахождению расстояния между двумя параллельными хордами длиной 16 см и 12 см в круге радиусом 10 см. Расстояние между сечениями равно расстоянию между этими хордами в плоскости основания.

Найдем расстояние от центра основания до каждой из хорд. Пусть $d_1$ и $d_2$ — расстояния от центра окружности до хорд $l_1$ и $l_2$ соответственно. Это расстояние можно найти с помощью теоремы Пифагора, рассматривая прямоугольный треугольник, образованный радиусом, половиной хорды и перпендикуляром от центра к хорде (который и является искомым расстоянием).

Для хорды $l_1 = 16$ см:

Половина хорды равна $\frac{l_1}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.
По теореме Пифагора: $R^2 = d_1^2 + (\frac{l_1}{2})^2$.
$10^2 = d_1^2 + 8^2$
$100 = d_1^2 + 64$
$d_1^2 = 36$
$d_1 = 6$ см.

Для хорды $l_2 = 12$ см:

Половина хорды равна $\frac{l_2}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.
По теореме Пифагора: $R^2 = d_2^2 + (\frac{l_2}{2})^2$.
$10^2 = d_2^2 + 6^2$
$100 = d_2^2 + 36$
$d_2^2 = 64$
$d_2 = 8$ см.

Существует два возможных варианта расположения хорд (и, соответственно, сечений) относительно оси цилиндра.

Случай 1: Сечения расположены по одну сторону от оси цилиндра.

В этом случае расстояние между хордами равно разности расстояний от центра до каждой хорды.

Расстояние $= |d_2 - d_1| = |8 - 6| = 2$ см.

Ответ: 2 см.

Случай 2: Сечения расположены по разные стороны от оси цилиндра.

В этом случае расстояние между хордами равно сумме расстояний от центра до каждой хорды.

Расстояние $= d_1 + d_2 = 6 + 8 = 14$ см.

Ответ: 14 см.

Поскольку в условии задачи не указано, как расположены сечения относительно оси, задача имеет два возможных решения.

34. Радиус цилиндра 6 дм, а высота 10 дм. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной основанию и отсекающей от окружности основания дугу в 120°.

Согласно условию задачи, радиус цилиндра $r = 6$ дм, а его высота $h = 10$ дм. Сечение цилиндра производится плоскостью, которая перпендикулярна основанию. Такое сечение всегда представляет собой прямоугольник. Одна из сторон этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h$. Вторая сторона, обозначим ее $w$, является хордой в окружности основания, которая отсекает (стягивает) дугу в $120°$. Таким образом, чтобы найти площадь сечения, нам нужно найти площадь этого прямоугольника, а для этого сначала вычислить длину хорды $w$.

Рассмотрим основание цилиндра. Хорда $AB$ (которая является стороной $w$ нашего прямоугольного сечения) стягивает дугу в $120°$. Если соединить концы хорды с центром окружности $O$, мы получим равнобедренный треугольник $\triangle AOB$, в котором стороны $OA$ и $OB$ равны радиусу $r=6$ дм, а угол между ними $\angle AOB$ равен центральному углу, опирающемуся на дугу, то есть $\angle AOB = 120°$.
Для нахождения длины хорды $w = AB$ проведем высоту $OM$ из вершины $O$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота является также биссектрисой и медианой. Следовательно, $\triangle OMA$ - прямоугольный, угол $\angle AOM = \frac{120°}{2} = 60°$, а катет $AM$ равен половине хорды: $AM = \frac{w}{2}$.
Из прямоугольного треугольника $\triangle OMA$ имеем:$AM = OA \cdot \sin(\angle AOM)$Подставим известные значения:$\frac{w}{2} = r \cdot \sin(60°) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ дм.Следовательно, длина всей хорды $w$ равна:$w = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ дм.
Теперь мы можем вычислить площадь сечения $S$, которая равна площади прямоугольника со сторонами $h=10$ дм и $w=6\sqrt{3}$ дм:$S = h \cdot w = 10 \cdot 6\sqrt{3} = 60\sqrt{3}$ дм$^2$.

Ответ: Площадь сечения равна $60\sqrt{3} \text{ дм}^2$.

35. Сколько краски потребуется, чтобы окрасить куб с ребром 3 м, если на покраску $1 \text{ м}^2$ требуется 200 г краски?

Чтобы определить, сколько краски потребуется, необходимо сначала вычислить общую площадь поверхности куба.

1. Вычисление площади одной грани куба.
Длина ребра куба, обозначим ее как $a$, равна 3 м. Каждая из шести граней куба представляет собой квадрат. Площадь одной грани ($S_{грани}$) находится по формуле площади квадрата: $S = a^2$.
$S_{грани} = 3^2 = 9$ м².

2. Вычисление общей площади поверхности куба.
Куб имеет 6 одинаковых граней. Чтобы найти общую площадь поверхности ($S_{полная}$), нужно площадь одной грани умножить на количество граней.
$S_{полная} = 6 \times S_{грани} = 6 \times 9 \text{ м²} = 54$ м².

3. Расчет необходимого количества краски.
В условии сказано, что на покраску 1 м² требуется 200 г краски. Чтобы найти общее количество краски для всей поверхности куба, нужно общую площадь поверхности умножить на расход краски на один квадратный метр.
Количество краски = $S_{полная} \times 200 \text{ г/м²} = 54 \times 200 = 10800$ г.

Полученный результат в граммах можно перевести в килограммы, зная, что 1 кг = 1000 г.
$10800 \text{ г} = 10,8$ кг.

Ответ: для окраски куба потребуется 10800 г (или 10,8 кг) краски.

36. Сколько квадратных железного листа потребуется для изготовления бункера, имеющего форму правильной шестиугольной призмы, длина стороны основания которой равна 1,4 м, а высота — 2,5 м?

Для того чтобы определить, сколько квадратных метров железного листа потребуется для изготовления бункера, необходимо вычислить площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы. Площадь полной поверхности $S_{полн}$ равна сумме площади боковой поверхности $S_{бок}$ и площади двух оснований $2 \cdot S_{осн}$.

Дано:

Сторона основания (правильного шестиугольника) $a = 1,4$ м.

Высота призмы $h = 2,5$ м.

Вычисление площади боковой поверхности

Боковая поверхность призмы состоит из шести одинаковых прямоугольников. Длина каждого прямоугольника равна высоте призмы $h$, а ширина — стороне основания $a$. Площадь боковой поверхности — это периметр основания, умноженный на высоту.

Периметр основания $P = 6a = 6 \cdot 1,4 = 8,4$ м.

Площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = P \cdot h = 8,4 \cdot 2,5 = 21$ м².

Вычисление площади основания

Основание призмы — это правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Подставим значение $a = 1,4$ м:

$S_{осн} = \frac{3 \cdot (1,4)^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 1,96 \sqrt{3}}{2} = 2,94\sqrt{3}$ м².

Вычисление площади полной поверхности

Площадь полной поверхности призмы — это сумма площади боковой поверхности и удвоенной площади основания (так как у призмы есть дно и крышка).

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

$S_{полн} = 21 + 2 \cdot (2,94\sqrt{3}) = 21 + 5,88\sqrt{3}$ м².

Для практических целей вычислим приближенное значение, взяв $\sqrt{3} \approx 1,732$:

$S_{полн} \approx 21 + 5,88 \cdot 1,732 \approx 21 + 10,18496 \approx 31,18496$ м².

Округлим результат до сотых: $31,18$ м².

Ответ: $21 + 5,88\sqrt{3}$ м², что приблизительно равно 31,18 м².

37. Сколько квадратных метров железного листа следует взять для изготовления трубы длиной 6 м и диаметром 24 см?

Для определения необходимого количества железного листа нужно найти площадь боковой поверхности трубы, которая имеет форму цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту.

Формула для вычисления площади боковой поверхности цилиндра: $S_{бок} = \pi d h$, где $d$ — это диаметр основания, а $h$ — это высота цилиндра (длина трубы).

Исходные данные из условия задачи:

Длина трубы $h = 6$ м.

Диаметр трубы $d = 24$ см.

Так как площадь нужно найти в квадратных метрах, необходимо привести все размеры к единой единице измерения — метрам. Длина уже дана в метрах, переведем диаметр:

$d = 24 \text{ см} = 0.24 \text{ м}$.

Теперь можно подставить числовые значения в формулу:

$S_{бок} = \pi \cdot 0.24 \text{ м} \cdot 6 \text{ м} = 1.44 \pi \text{ м}^2$.

Чтобы получить числовой ответ, воспользуемся приближенным значением числа $\pi \approx 3.14159...$

$S_{бок} \approx 1.44 \cdot 3.14159 \approx 4.5239 \text{ м}^2$.

Округлим результат до сотых для практического применения:

$S_{бок} \approx 4.52 \text{ м}^2$.

Ответ: для изготовления трубы следует взять примерно $4.52$ квадратных метра железного листа.

38. Высота конуса 40 см, радиус 9 см. Найдите образующую конуса.

Для нахождения образующей конуса воспользуемся соотношением между высотой, радиусом и образующей. Высота конуса ($h$), его радиус ($r$) и образующая ($l$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике высота и радиус являются катетами, а образующая — гипотенузой.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Применительно к конусу, формула выглядит так:

$l^2 = h^2 + r^2$

Подставим в эту формулу известные значения из условия задачи: высота $h = 40$ см и радиус $r = 9$ см.

$l^2 = 40^2 + 9^2$

Теперь выполним вычисления. Сначала возведем в квадрат значения высоты и радиуса:

$40^2 = 1600$

$9^2 = 81$

Сложим полученные результаты:

$l^2 = 1600 + 81$

$l^2 = 1681$

Чтобы найти длину образующей $l$, необходимо извлечь квадратный корень из 1681:

$l = \sqrt{1681}$

$l = 41$ см

Ответ: 41 см.

39. Образующая конуса равна 18 см и наклонена к плоскости основания под углом $60^\circ$. Найдите высоту и радиус основания конуса.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса ($h$), радиусом его основания ($r$) и образующей ($l$).

Согласно условию, образующая $l$ (гипотенуза этого треугольника) равна 18 см. Угол наклона образующей к плоскости основания — это угол между образующей $l$ и радиусом $r$, и он равен $60°$.

Высота конуса $h$ является катетом, противолежащим углу $60°$. Для ее нахождения воспользуемся тригонометрической функцией синуса:

$\sin(60°) = \frac{h}{l}$

Отсюда находим высоту $h$:

$h = l \cdot \sin(60°) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$ см.

Радиус основания $r$ является катетом, прилежащим к углу $60°$. Для его нахождения воспользуемся тригонометрической функцией косинуса:

$\cos(60°) = \frac{r}{l}$

Отсюда находим радиус $r$:

$r = l \cdot \cos(60°) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ см.

Ответ: высота конуса равна $9\sqrt{3}$ см, радиус основания равен 9 см.

40. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник со стороной 12 см. Найдите радиус и высоту конуса.

Осевое сечение конуса — это треугольник, который образуется при пересечении конуса плоскостью, проходящей через его ось. По условию задачи, это сечение является равносторонним треугольником со стороной $a = 12$ см.

Стороны этого равностороннего треугольника являются образующими конуса ($l$), а основание треугольника — диаметром основания конуса ($d$). Таким образом, образующая $l = 12$ см и диаметр $d = 12$ см.

Радиус основания конуса ($r$) равен половине его диаметра. Вычисляем радиус:

$r = \frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Высота конуса ($h$) совпадает с высотой равностороннего треугольника осевого сечения. Высота, радиус и образующая конуса образуют прямоугольный треугольник (на рисунке $\triangle SOA$), в котором образующая ($l$) — гипотенуза, а высота ($h$) и радиус ($r$) — катеты. Применим теорему Пифагора:

$l^2 = h^2 + r^2$

Выразим из формулы высоту $h$:

$h^2 = l^2 - r^2$

$h = \sqrt{l^2 - r^2}$

Подставим известные значения $l=12$ и $r=6$:

$h = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108}$

Упростим полученное значение, разложив подкоренное выражение на множители: $108 = 36 \cdot 3$.

$h = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ см.

Альтернативный способ: высоту равностороннего треугольника со стороной $a$ можно также найти по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Подставив $a=12$ см, получим тот же результат:

$h = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Ответ: радиус конуса равен 6 см, высота конуса равна $6\sqrt{3}$ см.

41. Радиус основания конуса 11 дм. Осевым сечением является прямоугольный треугольник. Найдите его площадь.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Основание этого треугольника равно диаметру основания конуса $D$, боковые стороны — образующим конуса $L$, а высота треугольника — это высота конуса $H$.

По условию задачи, осевое сечение является прямоугольным треугольником. Так как этот треугольник по определению равнобедренный (боковые стороны $L$ равны), прямой угол ($90^\circ$) может быть только при вершине конуса (вершина A). Если бы прямыми были углы при основании, их сумма составила бы $180^\circ$, что для треугольника невозможно.

Следовательно, осевое сечение — это равнобедренный прямоугольный треугольник ABC. В таком треугольнике высота AO, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе BC, является также медианой и равна половине гипотенузы.

Гипотенуза BC — это диаметр основания конуса $D$, а высота AO — это высота конуса $H$. Таким образом, мы получаем соотношение: $H = \frac{1}{2}D$.

Из условия нам известен радиус основания конуса $R = 11$ дм. Диаметр основания равен $D = 2R = 2 \times 11 = 22$ дм.Тогда высота конуса составляет $H = \frac{1}{2}D = \frac{1}{2} \times 22 = 11$ дм.Отсюда следует важное свойство для такого конуса: его высота равна радиусу основания, $H = R$.

Площадь осевого сечения (треугольника ABC) найдем по формуле площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$.В нашем случае основание — это диаметр $D$, а высота — $H$.$S = \frac{1}{2} D \cdot H$.Подставим в формулу выражения через радиус $R$:$S = \frac{1}{2} (2R) \cdot R = R^2$.

Теперь вычислим площадь, подставив значение радиуса $R = 11$ дм:$S = 11^2 = 121$ дм$^2$.

Ответ: 121 дм$^2$.

42. Образующая конуса 17 см, высота 8 см. Найдите площадь его поверхности.

Площадь полной поверхности конуса вычисляется как сумма площади его основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$). Формула имеет вид: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r + l)$, где $r$ — радиус основания, а $l$ — образующая конуса.
По условию задачи, образующая $l = 17$ см, а высота $h = 8$ см. Радиус основания $r$ нам неизвестен. Его можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный высотой, радиусом и образующей конуса, где $h$ и $r$ — катеты, а $l$ — гипотенуза.

Согласно теореме Пифагора: $l^2 = r^2 + h^2$.
Выразим и найдем радиус $r$:
$r^2 = l^2 - h^2$
$r^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$
$r = \sqrt{225} = 15$ см.
Теперь, зная радиус, мы можем рассчитать площадь полной поверхности конуса:
$S_{полн} = \pi r(r + l) = \pi \cdot 15 \cdot (15 + 17) = \pi \cdot 15 \cdot 32 = 480\pi$ см$^2$.
Ответ: $480\pi$ см$^2$.

43. Сколько квадратных метров ткани потребуется, чтобы сшить конусообразную палатку высотой 4 м и диаметром 6 м?

Для того чтобы определить, сколько ткани потребуется для пошива конусообразной палатки, необходимо вычислить площадь её боковой поверхности. Дно палатки (основание конуса) для пошива стенок не требуется. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi r l$

где $r$ – это радиус основания конуса, а $l$ – это длина его образующей (длина ската палатки от вершины до основания).

По условию задачи нам даны:

Высота палатки, $h = 4$ м.

Диаметр основания, $d = 6$ м.

Решение задачи можно разбить на следующие шаги:

1. Нахождение радиуса основания (r)

Радиус $r$ равен половине диаметра $d$.

$r = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3$ м.

2. Нахождение длины образующей (l)

Высота конуса ($h$), его радиус ($r$) и образующая ($l$) образуют прямоугольный треугольник, где образующая $l$ является гипотенузой, а высота $h$ и радиус $r$ – катетами. Для нахождения длины образующей воспользуемся теоремой Пифагора:

$l^2 = h^2 + r^2$

Подставляем известные значения $h = 4$ м и $r = 3$ м:

$l^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$

$l = \sqrt{25} = 5$ м.

3. Расчет площади боковой поверхности (S_бок)

Теперь, зная радиус ($r=3$ м) и длину образующей ($l=5$ м), мы можем рассчитать площадь ткани, необходимую для пошива палатки:

$S_{бок} = \pi \times r \times l = \pi \times 3 \times 5 = 15\pi$ м$^2$.

Обычно в таких задачах ответ оставляют в виде выражения с числом $\pi$. Если требуется получить приближенное числовое значение, можно использовать $\pi \approx 3,14$:

$S_{бок} \approx 15 \times 3,14 = 47,1$ м$^2$.

Ответ: потребуется $15\pi$ м$^2$ ткани.

44. Образующая конуса равна 22 см и наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите:

а) площадь основания конуса;

б) площадь боковой поверхности конуса.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $h$, радиусом его основания $r$ и образующей $l$.

В этом прямоугольном треугольнике гипотенузой является образующая конуса $l = 22 \text{ см}$, а катетами — радиус основания $r$ и высота $h$. Угол между образующей (гипотенузой) и плоскостью основания (катетом $r$) по условию равен $60°$.

Для нахождения радиуса $r$ воспользуемся определением косинуса в прямоугольном треугольнике:

$\cos(60°) = \frac{r}{l}$

Отсюда выразим радиус $r$:

$r = l \cdot \cos(60°)$

Подставим известные значения, учитывая, что $\cos(60°) = \frac{1}{2}$:

$r = 22 \cdot \frac{1}{2} = 11 \text{ см}$

Теперь мы можем найти требуемые площади.

а) площадь основания конуса

Площадь основания конуса ($S_{осн}$) — это площадь круга с радиусом $r$. Формула для площади круга:

$S_{осн} = \pi r^2$

Подставим найденное значение радиуса $r = 11 \text{ см}$:

$S_{осн} = \pi \cdot (11)^2 = 121\pi \text{ см}^2$

Ответ: $121\pi \text{ см}^2$.

б) площадь боковой поверхности конуса

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi r l$

Подставим известные значения $r = 11 \text{ см}$ и $l = 22 \text{ см}$:

$S_{бок} = \pi \cdot 11 \cdot 22 = 242\pi \text{ см}^2$

Ответ: $242\pi \text{ см}^2$.

45. Какие размеры имеет развертка боковой поверхности ведра, если диаметры его оснований равны 28 и 20 см, а высота 24 см. Сколько квадратных дециметров материала нужно затратить на изготовление этого ведра (без учета расходов на швы) ?

Какие размеры имеет развертка боковой поверхности ведра?

Ведро представляет собой усеченный конус. Развертка его боковой поверхности является сектором кольца. Для определения ее размеров нам нужно найти образующую усеченного конуса (это будет ширина сектора) и длины дуг сектора (они равны длинам окружностей оснований ведра).

Исходные данные:

• Диаметр верхнего основания $D_1 = 28$ см, следовательно, радиус $R_1 = \frac{D_1}{2} = 14$ см.
• Диаметр нижнего основания $D_2 = 20$ см, следовательно, радиус $R_2 = \frac{D_2}{2} = 10$ см.
• Высота ведра $h = 24$ см.

1. Находим образующую $l$ (ширину развертки).

Образующую можно найти по теореме Пифагора, рассмотрев осевое сечение ведра (равнобокую трапецию). Прямоугольный треугольник образуется высотой $h$, разностью радиусов $R_1 - R_2$ и образующей $l$ в качестве гипотенузы.

$l = \sqrt{h^2 + (R_1 - R_2)^2}$

$R_1 - R_2 = 14 \text{ см} - 10 \text{ см} = 4 \text{ см}$

$l = \sqrt{24^2 + 4^2} = \sqrt{576 + 16} = \sqrt{592} = \sqrt{16 \cdot 37} = 4\sqrt{37}$ см.

Приблизительное значение: $l \approx 24.33$ см.

2. Находим длины дуг развертки.

Длина большей дуги $C_1$ равна длине окружности верхнего основания:

$C_1 = 2 \pi R_1 = 2 \pi \cdot 14 = 28\pi$ см.

Приблизительное значение: $C_1 \approx 87.96$ см.

Длина меньшей дуги $C_2$ равна длине окружности нижнего основания:

$C_2 = 2 \pi R_2 = 2 \pi \cdot 10 = 20\pi$ см.

Приблизительное значение: $C_2 \approx 62.83$ см.

Ответ: Развертка боковой поверхности ведра представляет собой сектор кольца с шириной $4\sqrt{37}$ см, длиной внешней дуги $28\pi$ см и длиной внутренней дуги $20\pi$ см.

Сколько квадратных дециметров материала нужно затратить на изготовление этого ведра (без учета расходов на швы)?

Для изготовления ведра необходим материал для боковой поверхности и для дна (нижнего основания). Общая площадь будет суммой площадей этих двух частей.

1. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$.

Формула площади боковой поверхности усеченного конуса:

$S_{бок} = \pi (R_1 + R_2) l$

$S_{бок} = \pi (14 + 10) \cdot 4\sqrt{37} = 24\pi \cdot 4\sqrt{37} = 96\pi\sqrt{37}$ см$^2$.

2. Площадь дна $S_{дна}$.

Дно ведра — это круг с радиусом $R_2=10$ см.

$S_{дна} = \pi R_2^2 = \pi \cdot 10^2 = 100\pi$ см$^2$.

3. Общая площадь материала $S_{общ}$.

$S_{общ} = S_{бок} + S_{дна} = 96\pi\sqrt{37} + 100\pi = \pi(96\sqrt{37} + 100)$ см$^2$.

4. Вычисление и перевод в квадратные дециметры.

Используем приближенные значения $\pi \approx 3.1416$ и $\sqrt{37} \approx 6.0828$.

$S_{общ} \approx 3.1416 \cdot (96 \cdot 6.0828 + 100) = 3.1416 \cdot (583.9488 + 100) = 3.1416 \cdot 683.9488 \approx 2148.75$ см$^2$.

Переведем квадратные сантиметры в квадратные дециметры, зная, что 1 дм$^2 = 100$ см$^2$.

$S_{общ} = \frac{2148.75}{100} = 21.4875$ дм$^2$.

Округлим результат до двух знаков после запятой.

Ответ: На изготовление ведра нужно затратить примерно 21.49 дм$^2$ материала.

46. Высота конуса 8 см, образующая 10 см. Найдите угол сектора, являющегося разверткой боковой поверхности этого конуса.

Для нахождения угла сектора развертки боковой поверхности конуса необходимо выполнить следующие шаги. Дано: высота конуса $H = 8$ см и образующая $L = 10$ см.

1. Найдем радиус основания конуса $R$. Высота $H$, радиус $R$ и образующая $L$ образуют прямоугольный треугольник, где $L$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$R^2 + H^2 = L^2$

Отсюда выразим и найдем радиус:

$R = \sqrt{L^2 - H^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

2. Разверткой боковой поверхности конуса является сектор круга. Радиус этого сектора равен образующей конуса $L$, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса $C_{base}$.

3. Длина окружности основания конуса вычисляется по формуле:

$C_{base} = 2 \pi R = 2 \pi \cdot 6 = 12\pi$ см.

4. Угол сектора $\alpha$ можно найти из пропорции: отношение угла сектора к полному углу $360^\circ$ равно отношению длины дуги сектора к длине окружности, из которой вырезан сектор (с радиусом $L$).

$\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{C_{base}}{\text{длина окружности с радиусом } L} = \frac{2 \pi R}{2 \pi L} = \frac{R}{L}$

5. Подставим известные значения и вычислим угол $\alpha$:

$\alpha = \frac{R}{L} \cdot 360^\circ = \frac{6}{10} \cdot 360^\circ = 0.6 \cdot 360^\circ = 216^\circ$.

Ответ: $216^\circ$.

47. Хорда сферы радиусом 37 см находится на расстоянии 12 см от центра этой сферы. Какую длину имеет хорда?

Для решения этой задачи рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через ее центр и данную хорду. В этом сечении мы получим окружность, радиус которой равен радиусу сферы, а хорда сферы будет являться хордой этой окружности.

Обозначим:
- $R$ — радиус сферы (и окружности в сечении), $R = 37$ см.
- $d$ — расстояние от центра сферы до хорды, $d = 12$ см.
- $L$ — искомая длина хорды.

Расстояние от центра окружности до хорды, радиус, проведенный в один из концов хорды, и половина хорды образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:
- гипотенуза — это радиус $R$;
- один катет — это расстояние от центра до хорды $d$;
- второй катет — это половина длины хорды, то есть $L/2$.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$R^2 = d^2 + (L/2)^2$

Подставим известные значения в формулу:
$37^2 = 12^2 + (L/2)^2$

Теперь найдем квадрат половины хорды:
$(L/2)^2 = 37^2 - 12^2$
$(L/2)^2 = 1369 - 144$
$(L/2)^2 = 1225$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти длину половины хорды:
$L/2 = \sqrt{1225}$
$L/2 = 35$ см

Полная длина хорды $L$ равна удвоенной длине ее половины:
$L = 2 \times 35 = 70$ см

Ответ: Длина хорды равна 70 см.

48. Хорда длиной 20 см отстоит от центра сферы на 24 см. Найдите радиус сферы.

Для решения этой задачи рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через центр сферы и данную хорду. В сечении мы получим окружность, радиус которой равен радиусу сферы, и хорду этой окружности. Обозначим радиус сферы как $R$, длину хорды как $L$, а расстояние от центра до хорды как $d$.

По условию задачи, длина хорды $L = 20$ см, а расстояние от центра до хорды $d = 24$ см.

Рассмотрим треугольник, образованный радиусами, проведенными к концам хорды, и самой хордой. Этот треугольник равнобедренный. Расстояние от центра до хорды является высотой, медианой и биссектрисой в этом треугольнике. Эта высота делит хорду на два равных отрезка.

Таким образом, мы получаем прямоугольный треугольник, катетами которого являются расстояние от центра до хорды ($d$) и половина длины хорды ($L/2$), а гипотенузой — радиус сферы ($R$).

Найдем длину половины хорды:
$L/2 = 20 / 2 = 10$ см.

Теперь применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $OMA$ (где $O$ — центр сферы, $A$ — конец хорды, $M$ — середина хорды):

$R^2 = d^2 + (L/2)^2$

Подставим известные значения в формулу:

$R^2 = 24^2 + 10^2$

$R^2 = 576 + 100$

$R^2 = 676$

Чтобы найти радиус $R$, извлечем квадратный корень из 676:

$R = \sqrt{676} = 26$ см.

Ответ: радиус сферы равен 26 см.

49. Найдите площадь большого круга и длину экватора шара, если его радиус 0,6 дм.

В данной задаче нам дан шар с радиусом $R = 0,6$ дм. Необходимо найти площадь его большого круга и длину экватора.

Площадь большого круга

Большой круг шара — это сечение шара плоскостью, проходящей через его центр. Радиус большого круга равен радиусу самого шара, то есть $r = R = 0,6$ дм.

Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$.

Подставим известные значения в формулу:

$S = \pi \cdot (0,6)^2 = \pi \cdot 0,36 = 0,36\pi$ дм$^2$.

Ответ: площадь большого круга равна $0,36\pi$ дм$^2$.

Длина экватора

Экватор шара — это окружность большого круга. Длина окружности вычисляется по формуле $L = 2\pi r$.

Радиус экватора также равен радиусу шара, $r = 0,6$ дм.

Подставим значение радиуса в формулу:

$L = 2 \cdot \pi \cdot 0,6 = 1,2\pi$ дм.

Ответ: длина экватора равна $1,2\pi$ дм.

50. Шар, радиус которого равен 25 дм, пересечен плоскостью на расстоянии 15 дм от центра. Найдите площадь сечения.

Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Чтобы найти площадь этого круга, нам необходимо сначала определить его радиус. Обозначим радиус шара как $R$, расстояние от центра шара до плоскости сечения как $d$, и радиус круга в сечении как $r$.

По условию задачи, радиус шара $R = 25$ дм, а расстояние от центра шара до плоскости сечения $d = 15$ дм.

Радиус шара $R$, расстояние от центра до плоскости $d$ и радиус сечения $r$ образуют прямоугольный треугольник, где $R$ является гипотенузой, а $d$ и $r$ — катетами. Это соотношение можно наглядно представить на схеме (вид в разрезе):

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$R^2 = d^2 + r^2$

Выразим из этой формулы квадрат радиуса сечения $r^2$ и подставим известные значения:
$r^2 = R^2 - d^2$
$r^2 = 25^2 - 15^2$
$r^2 = 625 - 225$
$r^2 = 400$
Следовательно, радиус сечения $r = \sqrt{400} = 20$ дм.

Теперь, зная радиус сечения $r$, мы можем найти его площадь $S$ по формуле площади круга:
$S = \pi r^2$

Подставляем вычисленное значение $r = 20$ дм:
$S = \pi \cdot (20)^2 = 400\pi$ дм$^2$.

Ответ: $400\pi$ дм$^2$.

51. Диаметр шара 43 дм, а плоскость отстоит от его центра на 17 дм. Имеет ли эта плоскость с шаром общие точки?

Чтобы определить, имеют ли плоскость и шар общие точки, нужно сравнить радиус шара ($R$) с расстоянием от центра шара до плоскости ($d$).

1. Если $d < R$, плоскость пересекает шар.

2. Если $d = R$, плоскость касается шара в одной точке.

3. Если $d > R$, плоскость и шар не имеют общих точек.

Сначала найдем радиус шара. Диаметр шара $D$ равен 43 дм. Радиус $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{43}{2} = 21.5$ дм.

Расстояние от центра шара до плоскости, по условию задачи, равно $d = 17$ дм.

Теперь сравним расстояние $d$ и радиус $R$:

$17$ дм $ < 21.5$ дм

Так как расстояние от центра шара до плоскости меньше радиуса шара ($d < R$), то плоскость пересекает шар. Следовательно, у них есть общие точки.

Ответ: Да, эта плоскость имеет с шаром общие точки.

52. Точки $P$ и $Q$ лежат на поверхности шара радиусом 130 см. Найдите расстояние от центра шара до отрезка $PQ$, если длина этого отрезка 100 см.

Обозначим центр шара буквой О. Точки P и Q лежат на поверхности шара, следовательно, отрезки OP и OQ являются радиусами этого шара. По условию задачи, радиус шара равен 130 см, поэтому $OP = OQ = 130$ см.

Точки O, P и Q образуют треугольник $\triangle OPQ$. Поскольку две его стороны равны ($OP = OQ$), этот треугольник является равнобедренным с основанием PQ.

Расстояние от центра шара (точки О) до отрезка PQ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, содержащую отрезок PQ. Обозначим основание этого перпендикуляра буквой H. Таким образом, нам нужно найти длину отрезка OH.

В равнобедренном треугольнике $\triangle OPQ$ высота OH, проведенная к основанию PQ, является также и медианой. Это свойство означает, что точка H является серединой отрезка PQ.

Длина отрезка PQ по условию равна 100 см. Так как H — середина PQ, то длина отрезка PH равна:$PH = \frac{PQ}{2} = \frac{100}{2} = 50$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHP$ ($\angle OHP = 90^\circ$). В этом треугольнике:

• OP — гипотенуза (радиус шара), $OP = 130$ см.
• PH — катет, $PH = 50$ см.
• OH — катет (искомое расстояние).

Применим теорему Пифагора: $OP^2 = OH^2 + PH^2$.Выразим из этой формулы квадрат искомого расстояния $OH^2$:$OH^2 = OP^2 - PH^2$Подставим известные значения в формулу:$OH^2 = 130^2 - 50^2$$OH^2 = 16900 - 2500$$OH^2 = 14400$Теперь найдем длину OH, извлекая квадратный корень:$OH = \sqrt{14400} = \sqrt{144 \cdot 100} = 12 \cdot 10 = 120$ см.

Ответ: 120 см.

53. Вершины равностороннего треугольника со стороной 12 см лежат на поверхности шара радиусом 12 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.

Пусть дан равносторонний треугольник со стороной $a = 12$ см, вершины которого лежат на поверхности шара радиусом $R = 12$ см. Плоскость, в которой лежит треугольник, пересекает шар по окружности. Эта окружность является описанной окружностью для данного равностороннего треугольника. Обозначим радиус этой окружности как $r$.

Пусть $O$ — центр шара, а $C$ — центр описанной окружности треугольника (который также является центром самого равностороннего треугольника). Расстояние от центра шара до плоскости треугольника — это длина перпендикуляра $d$, опущенного из точки $O$ на плоскость треугольника, то есть $d = OC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$, радиусом описанной окружности треугольника $r$ и искомым расстоянием $d$. Вершинами этого треугольника будут: центр шара $O$, центр треугольника $C$ и любая из вершин треугольника, например, $A$. В этом треугольнике $OA$ — это радиус шара $R$ (гипотенуза), $CA$ — это радиус описанной окружности $r$ (катет), а $OC$ — это искомое расстояние $d$ (второй катет).

По теореме Пифагора для треугольника $OCA$ имеем: $R^2 = d^2 + r^2$.

Отсюда искомое расстояние $d$ можно выразить как $d = \sqrt{R^2 - r^2}$.

1. Найдем радиус $r$ описанной окружности равностороннего треугольника.

Радиус $r$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле:

$r = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим значение стороны треугольника $a = 12$ см:

$r = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

2. Найдем расстояние $d$ от центра шара до плоскости треугольника.

Теперь подставим известные значения $R = 12$ см и $r = 4\sqrt{3}$ см в формулу для $d$:

$d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{12^2 - (4\sqrt{3})^2}$

$d = \sqrt{144 - (16 \cdot 3)} = \sqrt{144 - 48}$

$d = \sqrt{96}$

Упростим корень:

$d = \sqrt{16 \cdot 6} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{6} = 4\sqrt{6}$ см.

Ответ: расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно $4\sqrt{6}$ см.