Номер 41, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

41. Радиус основания конуса 11 дм. Осевым сечением является прямоугольный треугольник. Найдите его площадь.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Основание этого треугольника равно диаметру основания конуса $D$, боковые стороны — образующим конуса $L$, а высота треугольника — это высота конуса $H$.

По условию задачи, осевое сечение является прямоугольным треугольником. Так как этот треугольник по определению равнобедренный (боковые стороны $L$ равны), прямой угол ($90^\circ$) может быть только при вершине конуса (вершина A). Если бы прямыми были углы при основании, их сумма составила бы $180^\circ$, что для треугольника невозможно.

Следовательно, осевое сечение — это равнобедренный прямоугольный треугольник ABC. В таком треугольнике высота AO, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе BC, является также медианой и равна половине гипотенузы.

Гипотенуза BC — это диаметр основания конуса $D$, а высота AO — это высота конуса $H$. Таким образом, мы получаем соотношение: $H = \frac{1}{2}D$.

Из условия нам известен радиус основания конуса $R = 11$ дм. Диаметр основания равен $D = 2R = 2 \times 11 = 22$ дм.Тогда высота конуса составляет $H = \frac{1}{2}D = \frac{1}{2} \times 22 = 11$ дм.Отсюда следует важное свойство для такого конуса: его высота равна радиусу основания, $H = R$.

Площадь осевого сечения (треугольника ABC) найдем по формуле площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$.В нашем случае основание — это диаметр $D$, а высота — $H$.$S = \frac{1}{2} D \cdot H$.Подставим в формулу выражения через радиус $R$:$S = \frac{1}{2} (2R) \cdot R = R^2$.

Теперь вычислим площадь, подставив значение радиуса $R = 11$ дм:$S = 11^2 = 121$ дм$^2$.

Ответ: 121 дм$^2$.