Номер 45, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

45. Какие размеры имеет развертка боковой поверхности ведра, если диаметры его оснований равны 28 и 20 см, а высота 24 см. Сколько квадратных дециметров материала нужно затратить на изготовление этого ведра (без учета расходов на швы) ?

Какие размеры имеет развертка боковой поверхности ведра?

Ведро представляет собой усеченный конус. Развертка его боковой поверхности является сектором кольца. Для определения ее размеров нам нужно найти образующую усеченного конуса (это будет ширина сектора) и длины дуг сектора (они равны длинам окружностей оснований ведра).

Исходные данные:

• Диаметр верхнего основания $D_1 = 28$ см, следовательно, радиус $R_1 = \frac{D_1}{2} = 14$ см.
• Диаметр нижнего основания $D_2 = 20$ см, следовательно, радиус $R_2 = \frac{D_2}{2} = 10$ см.
• Высота ведра $h = 24$ см.

1. Находим образующую $l$ (ширину развертки).

Образующую можно найти по теореме Пифагора, рассмотрев осевое сечение ведра (равнобокую трапецию). Прямоугольный треугольник образуется высотой $h$, разностью радиусов $R_1 - R_2$ и образующей $l$ в качестве гипотенузы.

$l = \sqrt{h^2 + (R_1 - R_2)^2}$

$R_1 - R_2 = 14 \text{ см} - 10 \text{ см} = 4 \text{ см}$

$l = \sqrt{24^2 + 4^2} = \sqrt{576 + 16} = \sqrt{592} = \sqrt{16 \cdot 37} = 4\sqrt{37}$ см.

Приблизительное значение: $l \approx 24.33$ см.

2. Находим длины дуг развертки.

Длина большей дуги $C_1$ равна длине окружности верхнего основания:

$C_1 = 2 \pi R_1 = 2 \pi \cdot 14 = 28\pi$ см.

Приблизительное значение: $C_1 \approx 87.96$ см.

Длина меньшей дуги $C_2$ равна длине окружности нижнего основания:

$C_2 = 2 \pi R_2 = 2 \pi \cdot 10 = 20\pi$ см.

Приблизительное значение: $C_2 \approx 62.83$ см.

Ответ: Развертка боковой поверхности ведра представляет собой сектор кольца с шириной $4\sqrt{37}$ см, длиной внешней дуги $28\pi$ см и длиной внутренней дуги $20\pi$ см.

Сколько квадратных дециметров материала нужно затратить на изготовление этого ведра (без учета расходов на швы)?

Для изготовления ведра необходим материал для боковой поверхности и для дна (нижнего основания). Общая площадь будет суммой площадей этих двух частей.

1. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$.

Формула площади боковой поверхности усеченного конуса:

$S_{бок} = \pi (R_1 + R_2) l$

$S_{бок} = \pi (14 + 10) \cdot 4\sqrt{37} = 24\pi \cdot 4\sqrt{37} = 96\pi\sqrt{37}$ см$^2$.

2. Площадь дна $S_{дна}$.

Дно ведра — это круг с радиусом $R_2=10$ см.

$S_{дна} = \pi R_2^2 = \pi \cdot 10^2 = 100\pi$ см$^2$.

3. Общая площадь материала $S_{общ}$.

$S_{общ} = S_{бок} + S_{дна} = 96\pi\sqrt{37} + 100\pi = \pi(96\sqrt{37} + 100)$ см$^2$.

4. Вычисление и перевод в квадратные дециметры.

Используем приближенные значения $\pi \approx 3.1416$ и $\sqrt{37} \approx 6.0828$.

$S_{общ} \approx 3.1416 \cdot (96 \cdot 6.0828 + 100) = 3.1416 \cdot (583.9488 + 100) = 3.1416 \cdot 683.9488 \approx 2148.75$ см$^2$.

Переведем квадратные сантиметры в квадратные дециметры, зная, что 1 дм$^2 = 100$ см$^2$.

$S_{общ} = \frac{2148.75}{100} = 21.4875$ дм$^2$.

Округлим результат до двух знаков после запятой.

Ответ: На изготовление ведра нужно затратить примерно 21.49 дм$^2$ материала.