Номер 52, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

52. Точки $P$ и $Q$ лежат на поверхности шара радиусом 130 см. Найдите расстояние от центра шара до отрезка $PQ$, если длина этого отрезка 100 см.

Обозначим центр шара буквой О. Точки P и Q лежат на поверхности шара, следовательно, отрезки OP и OQ являются радиусами этого шара. По условию задачи, радиус шара равен 130 см, поэтому $OP = OQ = 130$ см.

Точки O, P и Q образуют треугольник $\triangle OPQ$. Поскольку две его стороны равны ($OP = OQ$), этот треугольник является равнобедренным с основанием PQ.

Расстояние от центра шара (точки О) до отрезка PQ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, содержащую отрезок PQ. Обозначим основание этого перпендикуляра буквой H. Таким образом, нам нужно найти длину отрезка OH.

В равнобедренном треугольнике $\triangle OPQ$ высота OH, проведенная к основанию PQ, является также и медианой. Это свойство означает, что точка H является серединой отрезка PQ.

Длина отрезка PQ по условию равна 100 см. Так как H — середина PQ, то длина отрезка PH равна:$PH = \frac{PQ}{2} = \frac{100}{2} = 50$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHP$ ($\angle OHP = 90^\circ$). В этом треугольнике:

• OP — гипотенуза (радиус шара), $OP = 130$ см.
• PH — катет, $PH = 50$ см.
• OH — катет (искомое расстояние).

Применим теорему Пифагора: $OP^2 = OH^2 + PH^2$.Выразим из этой формулы квадрат искомого расстояния $OH^2$:$OH^2 = OP^2 - PH^2$Подставим известные значения в формулу:$OH^2 = 130^2 - 50^2$$OH^2 = 16900 - 2500$$OH^2 = 14400$Теперь найдем длину OH, извлекая квадратный корень:$OH = \sqrt{14400} = \sqrt{144 \cdot 100} = 12 \cdot 10 = 120$ см.

Ответ: 120 см.