Номер 53, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

53. Вершины равностороннего треугольника со стороной 12 см лежат на поверхности шара радиусом 12 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.

Пусть дан равносторонний треугольник со стороной $a = 12$ см, вершины которого лежат на поверхности шара радиусом $R = 12$ см. Плоскость, в которой лежит треугольник, пересекает шар по окружности. Эта окружность является описанной окружностью для данного равностороннего треугольника. Обозначим радиус этой окружности как $r$.

Пусть $O$ — центр шара, а $C$ — центр описанной окружности треугольника (который также является центром самого равностороннего треугольника). Расстояние от центра шара до плоскости треугольника — это длина перпендикуляра $d$, опущенного из точки $O$ на плоскость треугольника, то есть $d = OC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$, радиусом описанной окружности треугольника $r$ и искомым расстоянием $d$. Вершинами этого треугольника будут: центр шара $O$, центр треугольника $C$ и любая из вершин треугольника, например, $A$. В этом треугольнике $OA$ — это радиус шара $R$ (гипотенуза), $CA$ — это радиус описанной окружности $r$ (катет), а $OC$ — это искомое расстояние $d$ (второй катет).

По теореме Пифагора для треугольника $OCA$ имеем: $R^2 = d^2 + r^2$.

Отсюда искомое расстояние $d$ можно выразить как $d = \sqrt{R^2 - r^2}$.

1. Найдем радиус $r$ описанной окружности равностороннего треугольника.

Радиус $r$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле:

$r = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим значение стороны треугольника $a = 12$ см:

$r = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

2. Найдем расстояние $d$ от центра шара до плоскости треугольника.

Теперь подставим известные значения $R = 12$ см и $r = 4\sqrt{3}$ см в формулу для $d$:

$d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{12^2 - (4\sqrt{3})^2}$

$d = \sqrt{144 - (16 \cdot 3)} = \sqrt{144 - 48}$

$d = \sqrt{96}$

Упростим корень:

$d = \sqrt{16 \cdot 6} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{6} = 4\sqrt{6}$ см.

Ответ: расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно $4\sqrt{6}$ см.