Номер 54, страница 68 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

54. Радиус сферы равен 35 см. Через его конец проведена касательная плоскость к сфере. Найдите длину окружности с центром в точке касания, если ее точки удалены от центра сферы на 37 см.

Дано:

Радиус сферы, $R = 35$ см.

Расстояние от центра сферы до точек искомой окружности, $d = 37$ см.

Решение:

Обозначим центр сферы как точку $O$. Пусть $A$ — точка на сфере, которая является концом радиуса, через который проведена касательная плоскость. Эта точка $A$ также является центром окружности, длину которой нам нужно найти.

Радиус сферы, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости. Следовательно, отрезок $OA$ (радиус сферы) перпендикулярен плоскости, в которой лежит искомая окружность.

Пусть $B$ — любая точка на этой окружности. Тогда отрезок $AB$ является радиусом этой окружности, который мы обозначим как $r$. По условию, расстояние от центра сферы $O$ до точки $B$ равно 37 см, то есть $OB = 37$ см.

Рассмотрим треугольник $OAB$. Так как $OA$ перпендикулярен плоскости, в которой лежит отрезок $AB$, то $OA \perp AB$. Это означает, что треугольник $OAB$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $A$.

В прямоугольном треугольнике $OAB$ катетами являются $OA$ (радиус сферы) и $AB$ (радиус искомой окружности $r$), а гипотенузой — $OB$ (расстояние $d$).

По теореме Пифагора:

$OA^2 + AB^2 = OB^2$

Подставим известные значения:

$R^2 + r^2 = d^2$

$35^2 + r^2 = 37^2$

Выразим $r^2$:

$r^2 = 37^2 - 35^2$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$r^2 = (37 - 35)(37 + 35)$

$r^2 = 2 \cdot 72$

$r^2 = 144$

Отсюда находим радиус окружности $r$:

$r = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь найдем длину окружности $C$ по формуле $C = 2 \pi r$:

$C = 2 \pi \cdot 12 = 24\pi$ см.

Ответ: $24\pi$ см.