Страница 68 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

54. Радиус сферы равен 35 см. Через его конец проведена касательная плоскость к сфере. Найдите длину окружности с центром в точке касания, если ее точки удалены от центра сферы на 37 см.

Дано:

Радиус сферы, $R = 35$ см.

Расстояние от центра сферы до точек искомой окружности, $d = 37$ см.

Решение:

Обозначим центр сферы как точку $O$. Пусть $A$ — точка на сфере, которая является концом радиуса, через который проведена касательная плоскость. Эта точка $A$ также является центром окружности, длину которой нам нужно найти.

Радиус сферы, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости. Следовательно, отрезок $OA$ (радиус сферы) перпендикулярен плоскости, в которой лежит искомая окружность.

Пусть $B$ — любая точка на этой окружности. Тогда отрезок $AB$ является радиусом этой окружности, который мы обозначим как $r$. По условию, расстояние от центра сферы $O$ до точки $B$ равно 37 см, то есть $OB = 37$ см.

Рассмотрим треугольник $OAB$. Так как $OA$ перпендикулярен плоскости, в которой лежит отрезок $AB$, то $OA \perp AB$. Это означает, что треугольник $OAB$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $A$.

В прямоугольном треугольнике $OAB$ катетами являются $OA$ (радиус сферы) и $AB$ (радиус искомой окружности $r$), а гипотенузой — $OB$ (расстояние $d$).

По теореме Пифагора:

$OA^2 + AB^2 = OB^2$

Подставим известные значения:

$R^2 + r^2 = d^2$

$35^2 + r^2 = 37^2$

Выразим $r^2$:

$r^2 = 37^2 - 35^2$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$r^2 = (37 - 35)(37 + 35)$

$r^2 = 2 \cdot 72$

$r^2 = 144$

Отсюда находим радиус окружности $r$:

$r = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь найдем длину окружности $C$ по формуле $C = 2 \pi r$:

$C = 2 \pi \cdot 12 = 24\pi$ см.

Ответ: $24\pi$ см.

55. Найдите объем куба, если его диагонали равны $5\sqrt{3}$ см.

Для нахождения объема куба необходимо сначала определить длину его ребра. Объем куба вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ — длина ребра.

Длина диагонали куба ($d$) связана с длиной его ребра ($a$) следующей формулой: $d = a\sqrt{3}$

Эта формула выводится из теоремы Пифагора. Диагональ грани куба ($d_{грани}$) равна $a\sqrt{2}$. Диагональ куба, ребро и диагональ грани образуют прямоугольный треугольник, где диагональ куба является гипотенузой. Таким образом, $d^2 = a^2 + (a\sqrt{2})^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2$, откуда $d = a\sqrt{3}$.

По условию задачи, диагональ куба равна $d = 5\sqrt{3}$ см.

Приравняем выражение для диагонали к ее значению, чтобы найти длину ребра $a$: $a\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$: $a = 5$ см.

Теперь, зная длину ребра, мы можем вычислить объем куба: $V = a^3 = 5^3 = 125$ см³.

Ответ: 125 см³.

56. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 10 см, 40 см и 20 см. Найдите ребро куба, объем которого равен объему этого параллелепипеда.

Для того чтобы найти ребро куба, объем которого равен объему заданного прямоугольного параллелепипеда, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Вычислить объем прямоугольного параллелепипеда. Объем прямоугольного параллелепипеда ($V_{\text{пар}}$) равен произведению его измерений (длины, ширины и высоты).

Формула для вычисления объема: $V_{\text{пар}} = a \cdot b \cdot c$, где $a, b, c$ — измерения параллелепипеда.

Согласно условию, измерения равны 10 см, 40 см и 20 см. Подставим эти значения в формулу:

$V_{\text{пар}} = 10 \text{ см} \cdot 40 \text{ см} \cdot 20 \text{ см} = 8000 \text{ см}^3$.

2. Найти ребро куба. По условию, объем куба ($V_{\text{куб}}$) равен объему параллелепипеда, следовательно, $V_{\text{куб}} = 8000 \text{ см}^3$.

Объем куба вычисляется по формуле $V_{\text{куб}} = d^3$, где $d$ — длина его ребра. Чтобы найти ребро куба, нужно извлечь кубический корень из его объема:

$d = \sqrt[3]{V_{\text{куб}}} = \sqrt[3]{8000 \text{ см}^3}$.

Так как $20^3 = 20 \cdot 20 \cdot 20 = 8000$, то длина ребра куба равна 20 см.

Ответ: 20 см.

57. Кирпич имеет форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 25 см, 10 см и 5,5 см. Плотность кирпича равна $1,8 \text{ г/см}^3$. Найдите его массу.

Для нахождения массы кирпича необходимо выполнить два шага: сначала вычислить его объем, а затем, зная плотность, найти массу.

1. Вычисление объема кирпича.

Кирпич представляет собой прямоугольный параллелепипед. Объем ($V$) прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение его трех измерений: длины, ширины и высоты.

Формула для вычисления объема: $V = a \cdot b \cdot c$.

Подставим известные из условия значения измерений кирпича:

$a = 25$ см

$b = 10$ см

$c = 5,5$ см

Теперь рассчитаем объем:

$V = 25 \text{ см} \times 10 \text{ см} \times 5,5 \text{ см} = 1375 \text{ см}^3$.

2. Вычисление массы кирпича.

Масса ($m$) тела определяется по формуле $m = \rho \cdot V$, где $\rho$ – это плотность вещества.

Из условия задачи нам известна плотность кирпича: $\rho = 1,8 \text{ г/см}^3$.

Теперь мы можем рассчитать массу, используя найденный объем и данную плотность:

$m = 1,8 \text{ г/см}^3 \times 1375 \text{ см}^3 = 2475 \text{ г}$.

Массу можно также выразить в килограммах. Учитывая, что $1$ кг $= 1000$ г, получаем:

$m = 2475 \text{ г} = 2,475 \text{ кг}$.

Ответ: $2475$ г (или $2,475$ кг).

58. Найдите объем прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$, если $\angle ABC = 90^\circ$, $AC=20$ см, $AB=16$ см, $AA_1=9$ см.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания призмы, а $h$ — ее высота.

1. Основанием данной призмы является треугольник $ABC$. По условию, $\angle ABC = 90^\circ$, следовательно, треугольник $ABC$ — прямоугольный. Его катетами являются стороны $AB$ и $BC$, а гипотенузой — сторона $AC$.

2. Для нахождения площади основания (треугольника $ABC$) необходимо знать длины его катетов. Длина катета $AB$ дана и равна 16 см. Найдем длину катета $BC$, используя теорему Пифагора: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.

Выразим $BC$ из этой формулы:

$BC^2 = AC^2 - AB^2$

Подставим известные значения $AC = 20$ см и $AB = 16$ см:

$BC^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$

$BC = \sqrt{144} = 12$ см.

3. Теперь можем вычислить площадь основания $S_{осн}$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{осн} = S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC$

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 8 \cdot 12 = 96$ см$^2$.

4. Так как призма $ABCA_1B_1C_1$ является прямой, ее высота $h$ равна длине бокового ребра $AA_1$. По условию, $AA_1 = 9$ см, следовательно, $h = 9$ см.

5. Наконец, найдем объем призмы, умножив площадь основания на высоту:

$V = S_{осн} \cdot h = 96 \cdot 9 = 864$ см$^3$.

Ответ: $864$ см$^3$.

59. Найдите объем пирамиды, высота которой 9 см, а в основании – прямоугольник со сторонами 4 см и 11 см.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания пирамиды, а $h$ — ее высота.

В основании данной пирамиды лежит прямоугольник. Стороны этого прямоугольника равны 4 см и 11 см. Найдем площадь основания:

$S_{осн} = 4 \text{ см} \cdot 11 \text{ см} = 44 \text{ см}^2$.

Высота пирамиды по условию задачи равна $h = 9$ см.

Теперь подставим известные значения площади основания и высоты в формулу для вычисления объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 44 \text{ см}^2 \cdot 9 \text{ см}$.

Выполним вычисления:

$V = 44 \cdot \frac{9}{3} \text{ см}^3 = 44 \cdot 3 \text{ см}^3 = 132 \text{ см}^3$.

Ответ: $132 \text{ см}^3$.

прямоугольник со сторонами 4 см и 11 см.

60. Найдите объем пирамиды, высота которой 12 см, а в основании — прямоугольный треугольник с катетами 7 см и 10 см.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Сначала найдем площадь основания. В основании лежит прямоугольный треугольник с катетами $a = 7$ см и $b = 10$ см. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 7 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 35 \text{ см}^2$.

Высота пирамиды по условию равна $h = 12$ см.

Теперь можем вычислить объем пирамиды, подставив известные значения в основную формулу:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 35 \text{ см}^2 \cdot 12 \text{ см}$.

$V = 35 \cdot \frac{12}{3} \text{ см}^3 = 35 \cdot 4 \text{ см}^3 = 140 \text{ см}^3$.

Ответ: $140 \text{ см}^3$.

61. В правильной треугольной пирамиде высота 12 см, боковое ребро 13 см. Найдите объем пирамиды.

Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды воспользуемся формулой:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

По условию задачи, высота пирамиды $h = 12$ см, а боковое ребро $l = 13$ см. Основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник. Высота пирамиды опускается в центр этого треугольника, который также является центром описанной окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды ($h$), боковым ребром ($l$) и радиусом ($R$) описанной около основания окружности. В этом треугольнике боковое ребро является гипотенузой, а высота и радиус — катетами.

1. Найдем радиус R описанной окружности.

По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + R^2$.

Выразим $R^2$:

$R^2 = l^2 - h^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$

$R = \sqrt{25} = 5$ см.

2. Найдем сторону основания a.

Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности связан со стороной $a$ формулой $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Отсюда найдем сторону $a$:

$a = R \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ см.

3. Найдем площадь основания S_осн.

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

$S_{осн} = \frac{(5\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{25 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{75\sqrt{3}}{4}$ см².

4. Найдем объем пирамиды V.

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{75\sqrt{3}}{4} \cdot 12$

Сократим множители:

$V = \frac{75\sqrt{3} \cdot 12}{3 \cdot 4} = \frac{75\sqrt{3} \cdot 12}{12} = 75\sqrt{3}$ см³.

Ответ: объем пирамиды равен $75\sqrt{3}$ см³.

62. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 20 м и 48 м. Все боковые ребра равны 30 м. Найдите объем пирамиды.

Для нахождения объема пирамиды воспользуемся формулой: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Нахождение площади основания
Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами $a = 20$ м и $b = 48$ м. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: $S_{осн} = a \cdot b$ $S_{осн} = 20 \cdot 48 = 960 \text{ м}^2$.

Нахождение высоты пирамиды
По условию, все боковые ребра пирамиды равны ($l = 30$ м). Это означает, что вершина пирамиды (S) проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника таким центром является точка пересечения его диагоналей (O).
Высота пирамиды $H$ (отрезок SO), половина диагонали основания $R$ (например, отрезок OA) и боковое ребро $l$ (отрезок SA) образуют прямоугольный треугольник $\triangle SOA$, где $l$ — гипотенуза.

Сначала найдем диагональ основания $d$ по теореме Пифагора для прямоугольника ABCD: $d^2 = a^2 + b^2 = 48^2 + 20^2 = 2304 + 400 = 2704$ м$^2$. $d = \sqrt{2704} = 52$ м.

Расстояние от центра основания до вершины $R$ равно половине диагонали: $R = \frac{d}{2} = \frac{52}{2} = 26$ м.

Теперь из прямоугольного треугольника $\triangle SOA$ по теореме Пифагора найдем высоту $H$: $l^2 = H^2 + R^2$ $H^2 = l^2 - R^2 = 30^2 - 26^2 = 900 - 676 = 224$. $H = \sqrt{224} = \sqrt{16 \cdot 14} = 4\sqrt{14}$ м.

Вычисление объема пирамиды
Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объема: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 960 \cdot 4\sqrt{14}$ $V = 320 \cdot 4\sqrt{14} = 1280\sqrt{14} \text{ м}^3$.

Ответ: $1280\sqrt{14} \text{ м}^3$.

63. Основание пирамиды—равнобедренный треугольник со сторонами 13 м, 13 м и 10 м. Все боковые ребра равны 17 м. Найдите объем пирамиды.

Для нахождения объема пирамиды воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Решение задачи разобьем на несколько этапов:

1. Найдем площадь основания пирамиды.

Основанием является равнобедренный треугольник со сторонами 13 м, 13 м и 10 м. Для вычисления площади проведем высоту $h$ к основанию длиной 10 м. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому она делит основание на два отрезка по 5 м.

Получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 м и одним из катетов 5 м. По теореме Пифагора найдем второй катет, который и является высотой $h$ треугольника:

$h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ м.

Теперь можем найти площадь основания ($S_{осн}$):

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ м².

2. Найдем высоту пирамиды ($H$).

По условию все боковые ребра пирамиды равны ($L=17$ м). Свойство такой пирамиды заключается в том, что ее вершина проецируется в центр описанной окружности основания. Расстояние от центра описанной окружности до любой вершины основания равно радиусу этой окружности ($R$).

Высота пирамиды ($H$), боковое ребро ($L$) и радиус описанной окружности основания ($R$) образуют прямоугольный треугольник, где $L$ — гипотенуза. Таким образом, выполняется соотношение:

$L^2 = H^2 + R^2$

Сначала вычислим радиус $R$ описанной окружности для треугольника в основании по формуле $R = \frac{abc}{4S_{осн}}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника:

$R = \frac{13 \cdot 13 \cdot 10}{4 \cdot 60} = \frac{1690}{240} = \frac{169}{24}$ м.

Теперь найдем высоту пирамиды $H$:

$H^2 = L^2 - R^2 = 17^2 - \left(\frac{169}{24}\right)^2 = 289 - \frac{28561}{576}$

$H^2 = \frac{289 \cdot 576}{576} - \frac{28561}{576} = \frac{166464 - 28561}{576} = \frac{137903}{576}$

$H = \sqrt{\frac{137903}{576}} = \frac{\sqrt{137903}}{24}$ м.

3. Вычислим объем пирамиды.

Подставим найденные значения $S_{осн}$ и $H$ в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 60 \cdot \frac{\sqrt{137903}}{24} = 20 \cdot \frac{\sqrt{137903}}{24}$

Сократим дробь:

$V = \frac{20 \sqrt{137903}}{24} = \frac{5 \sqrt{137903}}{6}$ м³.

Ответ: объем пирамиды равен $\frac{5 \sqrt{137903}}{6}$ м³.

64. Найдите объем тетраэдра, вершинами которого являются точки

$M(3; 3; 11), O(0; 0; 0), N(5; 0; 0), K(0; 6; 0).$

Для нахождения объема тетраэдра воспользуемся формулой объема пирамиды: $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота, опущенная на это основание.

В качестве основания тетраэдра выберем треугольник $ONK$. Вершины этого треугольника имеют координаты: O(0; 0; 0), N(5; 0; 0), K(0; 6; 0). Все три точки лежат в координатной плоскости $xy$, так как их z-координата равна 0.

Треугольник $ONK$ является прямоугольным, поскольку его стороны $ON$ и $OK$ лежат на координатных осях $Ox$ и $Oy$ соответственно, а оси координат взаимно перпендикулярны. Найдем длины катетов этого треугольника:

Длина катета $ON$ равна расстоянию от точки O до точки N: $|ON| = \sqrt{(5-0)^2 + (0-0)^2 + (0-0)^2} = 5$.

Длина катета $OK$ равна расстоянию от точки O до точки K: $|OK| = \sqrt{(0-0)^2 + (6-0)^2 + (0-0)^2} = 6$.

Теперь можем вычислить площадь основания $S_{ONK}$:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot |ON| \cdot |OK| = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 = 15$.

Вершиной тетраэдра, противолежащей основанию $ONK$, является точка M(3; 3; 11). Высота тетраэдра $h$ — это перпендикулярное расстояние от точки M до плоскости основания. Так как основание $ONK$ лежит в плоскости $z=0$, высота $h$ равна модулю аппликаты (z-координаты) точки M.

$h = |11| = 11$.

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу для объема тетраэдра:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 15 \cdot 11 = 5 \cdot 11 = 55$.

Ответ: 55

65. Основание пирамиды — равнобедренная трапеция со сторонами 8 см, 8 см, 8 см, 12 см, все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом $60^\circ$. Найдите объем пирамиды.

Для нахождения объема пирамиды используется формула $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция. Согласно условию, ее стороны равны 8 см, 8 см, 8 см и 12 см. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, следовательно, их длина составляет 8 см. Два других размера, 8 см и 12 см, являются длинами оснований. Обозначим основания как $a = 12$ см и $b = 8$ см, а боковые стороны как $c = 8$ см.

Ключевое условие задачи заключается в том, что все боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом $60^\circ$. Геометрически это означает, что вершина пирамиды (ее апекс) проецируется в центр окружности, вписанной в многоугольник основания. Расстояние от этого центра до любой стороны основания является радиусом вписанной окружности $r$. Высота пирамиды $H$ связана с этим радиусом и углом наклона $\alpha=60^\circ$ соотношением $H = r \cdot \tan(\alpha)$.

Однако, для того чтобы в трапецию можно было вписать окружность, необходимо, чтобы суммы длин ее противоположных сторон были равны. Проверим это свойство для нашей трапеции:

Сумма длин оснований: $a + b = 12 + 8 = 20$ см.

Сумма длин боковых сторон: $c + c = 8 + 8 = 16$ см.

Так как $20 \neq 16$, в данную трапецию нельзя вписать окружность. Это означает, что не существует пирамиды с таким основанием, у которой все боковые грани были бы наклонены под одинаковым углом к основанию. Следовательно, условие задачи содержит внутреннее противоречие. Вероятнее всего, в условии допущена опечатка.

Для того чтобы задача имела решение, исправим ее условие. Наиболее вероятно, что была допущена ошибка в длине боковой стороны. Чтобы суммы противоположных сторон были равны, сумма боковых сторон должна составлять 20 см. Поскольку трапеция равнобедренная, каждая боковая сторона должна быть равна $c = 20 / 2 = 10$ см. Далее будем решать задачу для трапеции с основаниями $a = 12$ см, $b = 8$ см и боковыми сторонами $c = 10$ см.

1. Находим высоту и площадь основания (исправленной трапеции).

Для нахождения высоты трапеции $h_{тр}$ опустим перпендикуляры из вершин меньшего основания на большее. Они отсекут на большем основании два равных отрезка длиной $x = \frac{a-b}{2} = \frac{12-8}{2} = 2$ см. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора находим высоту:

$h_{тр} = \sqrt{c^2 - x^2} = \sqrt{10^2 - 2^2} = \sqrt{100 - 4} = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$ см.

Площадь трапеции равна:

$S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h_{тр} = \frac{12+8}{2} \cdot 4\sqrt{6} = 10 \cdot 4\sqrt{6} = 40\sqrt{6}$ см².

2. Находим высоту пирамиды.

Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине ее высоты: $r = \frac{h_{тр}}{2} = \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6}$ см.

Высота пирамиды $H$ находится из соотношения $H = r \cdot \tan(60^\circ)$:

$H = 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \cdot 2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ см.

3. Находим объем пирамиды.

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 40\sqrt{6} \cdot 6\sqrt{2} = 40\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{2} = 80\sqrt{12} = 80\sqrt{4 \cdot 3} = 80 \cdot 2\sqrt{3} = 160\sqrt{3}$ см³.

Ответ: Задача в исходной формулировке содержит противоречивые данные и не имеет решения. Если предположить, что в условии допущена опечатка и боковые стороны трапеции равны 10 см (вместо 8 см), то объем пирамиды составляет $160\sqrt{3}$ см³.

66. Пусть V, R и H — соответственно объем, радиус и высота цилиндра.

Найдите:

а) V, если $R = 3\sqrt{2} \text{ см}$, $H = 6 \text{ см}$;

б) R, если $V = 90 \text{ см}^3$, $H = 3,5 \text{ см}$;

в) H, если $R = H$, $V = 24\pi \text{ см}^3$.

Для решения задачи используется формула объема цилиндра: $V = \pi R^2 H$, где $V$ — объем, $R$ — радиус основания, а $H$ — высота.

а) Найдем объем $V$, если $R = 3\sqrt{2}$ см и $H = 6$ см.
Подставляем известные значения в формулу: $V = \pi \cdot (3\sqrt{2})^2 \cdot 6$.
Сначала вычисляем квадрат радиуса: $(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$ см$^2$.
Теперь находим объем: $V = \pi \cdot 18 \cdot 6 = 108\pi$ см$^3$.
Ответ: $108\pi \text{ см}^3$.

б) Найдем радиус $R$, если $V = 90$ см$^3$ и $H = 3,5$ см.
Из формулы объема выразим $R^2$: $R^2 = \frac{V}{\pi H}$.
Подставляем значения: $R^2 = \frac{90}{\pi \cdot 3,5} = \frac{90}{\pi \cdot \frac{7}{2}} = \frac{180}{7\pi}$.
Извлекаем квадратный корень, чтобы найти радиус: $R = \sqrt{\frac{180}{7\pi}}$.
Упрощаем выражение: $R = \frac{\sqrt{180}}{\sqrt{7\pi}} = \frac{\sqrt{36 \cdot 5}}{\sqrt{7\pi}} = \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{7\pi}}$ см.
Ответ: $\frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{7\pi}} \text{ см}$.

в) Найдем высоту $H$, если $R = H$ и $V = 24\pi$ см$^3$.
Подставляем условие $R = H$ в формулу объема: $V = \pi R^2 H = \pi H^2 \cdot H = \pi H^3$.
Подставляем известное значение объема: $24\pi = \pi H^3$.
Решаем уравнение относительно $H^3$: $H^3 = \frac{24\pi}{\pi} = 24$.
Извлекаем кубический корень: $H = \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}$ см.
Ответ: $2\sqrt[3]{3} \text{ см}$.

67. Какое количество нефти (в тоннах) вмещает цилиндрическая цистерна диаметром 20 м и высотой 6 м, если плотность нефти равна 0,85 г/см³?

Для решения задачи необходимо сначала найти объем цилиндрической цистерны, а затем, зная плотность нефти, вычислить ее массу.

1. Нахождение объема цистерны.

Объем цилиндра вычисляется по формуле: $V = \pi r^2 h$, где $V$ — объем, $r$ — радиус основания, а $h$ — высота.

По условию, диаметр цистерны $d = 20$ м, значит ее радиус $r$ равен половине диаметра:

$r = \frac{d}{2} = \frac{20 \text{ м}}{2} = 10 \text{ м}$.

Высота цистерны $h = 6$ м.

Теперь можем рассчитать объем:

$V = \pi \cdot (10 \text{ м})^2 \cdot 6 \text{ м} = \pi \cdot 100 \text{ м}^2 \cdot 6 \text{ м} = 600\pi \text{ м}^3$.

2. Перевод единиц плотности.

Плотность нефти дана в г/см³: $\rho = 0,85 \text{ г/см}^3$. Для того чтобы вычислить массу в тоннах, необходимо привести единицы измерения к единой системе. Переведем плотность в т/м³.

Мы знаем, что $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг} = 1\;000\;000 \text{ г}$, и $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, следовательно, $1 \text{ м}^3 = (100 \text{ см})^3 = 1\;000\;000 \text{ см}^3$.

Таким образом:

$\rho = 0,85 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 0,85 \cdot \frac{1/1\;000\;000 \text{ т}}{1/1\;000\;000 \text{ м}^3} = 0,85 \frac{\text{т}}{\text{м}^3}$.

Плотность нефти составляет $0,85$ тонн на кубический метр.

3. Вычисление массы нефти.

Масса равна произведению объема на плотность: $m = V \cdot \rho$.

Подставим полученные значения:

$m = 600\pi \text{ м}^3 \cdot 0,85 \frac{\text{т}}{\text{м}^3} = (600 \cdot 0,85) \pi \text{ т} = 510\pi \text{ т}$.

Для получения числового ответа, возьмем значение $\pi \approx 3,14159$:

$m \approx 510 \cdot 3,14159 \approx 1602,21 \text{ т}$.

Ответ: Цилиндрическая цистерна вмещает приблизительно $1602,21$ тонны нефти.

68. Пусть $H$, $R$ и $V$ — соответственно высота, радиус основания и объем конуса. Найдите:

а) $V$, если $H = 4 \text{ см}$, $R = 2,5 \text{ см}$;

б) $H$, если $R = 2 \text{ см}$, $V = 36 \pi \text{ см}^3$.

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $V$ — объем, $R$ — радиус основания и $H$ — высота конуса.

а) Дано: высота $H = 4$ см, радиус основания $R = 2,5$ см.
Для нахождения объема $V$ подставим данные значения в формулу:
$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot (2,5)^2 \cdot 4$
Вычисляем:
$(2,5)^2 = 6,25$
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 6,25 \cdot 4 = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 = \frac{25\pi}{3}$ см$^3$.
Ответ: $V = \frac{25\pi}{3}$ см$^3$.

б) Дано: радиус основания $R = 2$ см, объем $V = 36\pi$ см$^3$.
Для нахождения высоты $H$ выразим ее из формулы объема:
$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H \implies H = \frac{3V}{\pi R^2}$
Подставим данные значения в полученную формулу:
$H = \frac{3 \cdot 36\pi}{\pi \cdot 2^2} = \frac{108\pi}{\pi \cdot 4}$
Сокращаем $\pi$ и вычисляем:
$H = \frac{108}{4} = 27$ см.
Ответ: $H = 27$ см.

69. Высота конуса равна 18 см, а его объем – 144 $\pi \text{см}^3$. Найдите радиус основания конуса.

Для нахождения радиуса основания конуса воспользуемся формулой для вычисления его объема: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $V$ — объем конуса, $R$ — радиус его основания, а $H$ — высота.

Из условия задачи нам даны следующие значения: Высота конуса $H = 18$ см. Объем конуса $V = 144\pi$ см³.

Подставим известные значения в формулу объема и получим уравнение для нахождения радиуса $R$: $144\pi = \frac{1}{3} \pi R^2 \cdot 18$

Для решения этого уравнения сначала сократим обе части на $\pi$: $144 = \frac{1}{3} R^2 \cdot 18$

Теперь упростим правую часть уравнения: $144 = R^2 \cdot \frac{18}{3}$ $144 = 6R^2$

Выразим $R^2$, разделив обе части уравнения на 6: $R^2 = \frac{144}{6}$ $R^2 = 24$

Чтобы найти радиус $R$, извлечем квадратный корень из полученного значения. Поскольку радиус — это длина, мы берем только положительное значение корня: $R = \sqrt{24}$

Упростим выражение для радиуса: $R = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$

Таким образом, радиус основания конуса равен $2\sqrt{6}$ см.

Ответ: $2\sqrt{6}$ см.

70. Найдите объем конуса, если его образующая равна 17 см, а площадь осевого сечения – $120 \text{ см}^2$.

Для нахождения объема конуса используется формула $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ — это радиус основания конуса, а $H$ — его высота.

Осевое сечение конуса является равнобедренным треугольником. Боковые стороны этого треугольника равны образующей конуса $l$, основание треугольника равно диаметру основания конуса ($2R$), а высота треугольника — это высота конуса $H$.

Из условия задачи нам известно, что образующая $l = 17$ см, а площадь осевого сечения $S_{сеч} = 120$ см².

Площадь осевого сечения (равнобедренного треугольника) вычисляется по формуле: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = RH$.
Из этого мы получаем первое уравнение: $RH = 120$.

Высота $H$, радиус $R$ и образующая $l$ конуса образуют прямоугольный треугольник, в котором $l$ является гипотенузой. Согласно теореме Пифагора: $R^2 + H^2 = l^2$.
Подставив известное значение $l=17$, получаем второе уравнение: $R^2 + H^2 = 17^2 = 289$.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} RH = 120 \\ R^2 + H^2 = 289 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $R$: $R = \frac{120}{H}$. Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$(\frac{120}{H})^2 + H^2 = 289$

$\frac{14400}{H^2} + H^2 = 289$

Умножим все члены уравнения на $H^2$ (при $H \neq 0$):

$14400 + H^4 = 289H^2$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить биквадратное уравнение:

$H^4 - 289H^2 + 14400 = 0$

Для решения введем замену переменной: пусть $x = H^2$. Уравнение примет вид стандартного квадратного уравнения:

$x^2 - 289x + 14400 = 0$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-289)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14400 = 83521 - 57600 = 25921$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{25921} = 161$.

Найдем корни уравнения для $x$:

$x_1 = \frac{289 + 161}{2} = \frac{450}{2} = 225$

$x_2 = \frac{289 - 161}{2} = \frac{128}{2} = 64$

Вернемся к замене $x = H^2$. Мы получили два возможных значения для квадрата высоты:

1. $H^2 = 225 \Rightarrow H = \sqrt{225} = 15$ см.
2. $H^2 = 64 \Rightarrow H = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь найдем соответствующие значения радиуса $R$ для каждого случая, используя соотношение $R = \frac{120}{H}$:

1. Если $H = 15$ см, то $R = \frac{120}{15} = 8$ см.
2. Если $H = 8$ см, то $R = \frac{120}{8} = 15$ см.

Итак, существует два конуса, которые удовлетворяют заданным условиям. Мы должны найти объем для каждого из них.

Случай 1: $R = 8$ см и $H = 15$ см.

$V_1 = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot 8^2 \cdot 15 = \frac{1}{3} \pi \cdot 64 \cdot 15 = \pi \cdot 64 \cdot 5 = 320\pi$ см³.

Случай 2: $R = 15$ см и $H = 8$ см.

$V_2 = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot 15^2 \cdot 8 = \frac{1}{3} \pi \cdot 225 \cdot 8 = \pi \cdot 75 \cdot 8 = 600\pi$ см³.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $320\pi$ см³ или $600\pi$ см³.

71. Найдите объем шара, диаметр которого равен 7 см.

Для нахождения объема шара ($V$) используется формула: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ — радиус шара.

Из условия задачи известно, что диаметр шара $d = 7$ см. Радиус шара равен половине его диаметра: $R = \frac{d}{2} = \frac{7}{2}$ см.

Теперь подставим значение радиуса в формулу объема и выполним вычисления. Для удобства расчетов будем использовать радиус в виде обыкновенной дроби: $V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{7}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{7^3}{2^3} = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{343}{8}$

Сократим полученное выражение: $V = \frac{4 \cdot 343 \cdot \pi}{3 \cdot 8} = \frac{343 \cdot \pi}{3 \cdot 2} = \frac{343\pi}{6}$

Таким образом, объем шара равен $\frac{343\pi}{6}$ см³.

Ответ: $\frac{343\pi}{6}$ см³.

72. Объем шара 48 $дм^3$. Найдите его радиус.

Для решения задачи воспользуемся формулой объема шара. Объем $V$ шара с радиусом $R$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Согласно условию задачи, объем шара равен $48 \text{ дм}^3$. Подставим это значение в формулу:

$48 = \frac{4}{3}\pi R^3$

Теперь нам нужно выразить радиус $R$ из этого уравнения. Для начала, выразим $R^3$. Для этого умножим обе части уравнения на 3 и разделим на $4\pi$:

$R^3 = \frac{48 \cdot 3}{4\pi}$

Выполним вычисления в числителе и сократим дробь:

$R^3 = \frac{144}{4\pi} = \frac{36}{\pi}$

Чтобы найти радиус $R$, необходимо извлечь кубический корень из обеих частей равенства:

$R = \sqrt[3]{\frac{36}{\pi}}$

Таким образом, радиус шара равен кубическому корню из отношения 36 к $\pi$.

Ответ: $R = \sqrt[3]{\frac{36}{\pi}} \text{ дм}$.

73. Диаметр одного арбуза втрое больше диаметра другого. Во сколько раз первый арбуз тяжелее второго?

Для решения этой задачи будем исходить из нескольких допущений: арбузы имеют форму, близкую к шару, и их плотность одинакова. Масса тела определяется как произведение его объема на плотность.

Обозначим диаметр первого арбуза как $d_1$, а второго — как $d_2$. Согласно условию задачи, диаметр первого арбуза втрое больше диаметра второго:
$d_1 = 3 \cdot d_2$

Масса ($m$) связана с объемом ($V$) и плотностью ($\rho$) формулой $m = \rho \cdot V$. Поскольку мы предположили, что плотность арбузов одинакова, отношение их масс будет равно отношению их объемов:
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{\rho \cdot V_1}{\rho \cdot V_2} = \frac{V_1}{V_2}$

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r$ — это радиус шара. Радиус, в свою очередь, равен половине диаметра: $r = \frac{d}{2}$. Подставив это в формулу объема, получим зависимость объема от диаметра:
$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{d}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{d^3}{8} = \frac{\pi d^3}{6}$

Теперь найдем отношение объемов двух арбузов, подставив в формулу их диаметры:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{\pi d_1^3}{6}}{\frac{\pi d_2^3}{6}} = \frac{d_1^3}{d_2^3} = \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^3$

Мы знаем, что $\frac{d_1}{d_2} = 3$. Следовательно, отношение масс арбузов равно:
$\frac{m_1}{m_2} = \left(3\right)^3 = 27$

Таким образом, первый арбуз тяжелее второго в 27 раз.

Ответ: первый арбуз тяжелее второго в 27 раз.

74. Сечение шара плоскостью, отстоящей от центра шара на расстоянии 12 см, имеет радиус 5 см. Найдите объем шара.

Для решения этой задачи мы можем использовать связь между радиусом шара, радиусом сечения и расстоянием от центра шара до плоскости сечения. Эти три величины образуют прямоугольный треугольник.

Обозначим:

• $R$ — радиус шара (гипотенуза треугольника).
• $d$ — расстояние от центра шара до плоскости сечения (один катет). По условию $d = 12$ см.
• $r$ — радиус сечения (второй катет). По условию $r = 5$ см.

Визуализируем это с помощью схемы:

По теореме Пифагора найдем квадрат радиуса шара $R^2$:

$R^2 = d^2 + r^2$

Подставляем известные значения:

$R^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$

Отсюда находим радиус шара $R$:

$R = \sqrt{169} = 13$ см.

Теперь, зная радиус шара, мы можем вычислить его объем по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставляем значение $R = 13$ см в формулу:

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 13^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 2197$

$V = \frac{4 \cdot 2197}{3}\pi = \frac{8788}{3}\pi$ см$^3$.

Ответ: объем шара равен $\frac{8788}{3}\pi$ см$^3$.

75. Найдите площадь поверхности шара диаметром 9 см.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi r^2$, где $S$ — площадь поверхности, а $r$ — радиус шара.

По условию задачи, диаметр шара $d = 9$ см. Радиус шара равен половине его диаметра. Найдем радиус:

$r = \frac{d}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$ см.

Теперь подставим значение радиуса в формулу для площади поверхности шара и выполним вычисления:

$S = 4\pi \cdot (4.5)^2 = 4\pi \cdot 20.25 = 81\pi$ см$^2$.

Также для решения можно было использовать формулу площади поверхности шара через диаметр: $S = \pi d^2$. Подставив в нее значение диаметра, получим тот же результат: $S = \pi \cdot 9^2 = 81\pi$ см$^2$.

Ответ: $81\pi$ см$^2$.

76. Площадь сферы равна $4\pi \text{ дм}^2$. Найдите ее радиус.

Формула для вычисления площади поверхности сферы ($S$) имеет вид: $S = 4 \pi R^2$, где $R$ — это радиус сферы.

В условии задачи дано, что площадь сферы равна $4 \pi$ дм². Подставим это значение в формулу: $4 \pi = 4 \pi R^2$

Чтобы найти радиус $R$, решим полученное уравнение. Разделим обе части уравнения на $4 \pi$: $\frac{4 \pi}{4 \pi} = \frac{4 \pi R^2}{4 \pi}$

$1 = R^2$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как радиус является геометрической величиной, он может быть только положительным числом. $R = \sqrt{1}$ $R = 1$

Единица измерения площади — дм², следовательно, радиус измеряется в дм.

Ответ: 1 дм.

77. В каком случае расходуется больше материала: на никелировку одного шара диаметром 6 см или на никелировку 12 шаров диаметром 2 см каждый?

Чтобы определить, в каком случае расходуется больше материала, необходимо сравнить общую площадь поверхности в каждом из двух случаев. Количество материала для никелировки прямо пропорционально площади покрываемой поверхности.

Площадь поверхности шара ($S$) можно вычислить по формуле через его диаметр ($D$): $S = \pi D^2$.

1) Площадь поверхности одного шара диаметром 6 см.

Для шара с диаметром $D_1 = 6$ см площадь его поверхности $S_1$ равна:

$S_1 = \pi D_1^2 = \pi \cdot (6 \text{ см})^2 = 36\pi \text{ см}^2$.

2) Общая площадь поверхности 12 шаров диаметром 2 см каждый.

Сначала найдем площадь поверхности одного малого шара с диаметром $D_2 = 2$ см. Его площадь $S_2$ равна:

$S_2 = \pi D_2^2 = \pi \cdot (2 \text{ см})^2 = 4\pi \text{ см}^2$.

Поскольку таких шаров 12, их общая площадь поверхности $S_{\text{общ}}$ будет равна сумме площадей всех шаров:

$S_{\text{общ}} = 12 \cdot S_2 = 12 \cdot 4\pi \text{ см}^2 = 48\pi \text{ см}^2$.

Сравнение.

Сравниваем полученные площади: $36\pi \text{ см}^2$ (для одного большого шара) и $48\pi \text{ см}^2$ (для 12 малых шаров).

Так как $48\pi > 36\pi$, общая площадь поверхности 12 малых шаров больше площади одного большого шара. Следовательно, на их никелировку потребуется больше материала.

Ответ: больше материала расходуется на никелировку 12 шаров диаметром 2 см каждый.