Номер 63, страница 68 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

63. Основание пирамиды—равнобедренный треугольник со сторонами 13 м, 13 м и 10 м. Все боковые ребра равны 17 м. Найдите объем пирамиды.

Для нахождения объема пирамиды воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Решение задачи разобьем на несколько этапов:

1. Найдем площадь основания пирамиды.

Основанием является равнобедренный треугольник со сторонами 13 м, 13 м и 10 м. Для вычисления площади проведем высоту $h$ к основанию длиной 10 м. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому она делит основание на два отрезка по 5 м.

Получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 м и одним из катетов 5 м. По теореме Пифагора найдем второй катет, который и является высотой $h$ треугольника:

$h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ м.

Теперь можем найти площадь основания ($S_{осн}$):

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ м².

2. Найдем высоту пирамиды ($H$).

По условию все боковые ребра пирамиды равны ($L=17$ м). Свойство такой пирамиды заключается в том, что ее вершина проецируется в центр описанной окружности основания. Расстояние от центра описанной окружности до любой вершины основания равно радиусу этой окружности ($R$).

Высота пирамиды ($H$), боковое ребро ($L$) и радиус описанной окружности основания ($R$) образуют прямоугольный треугольник, где $L$ — гипотенуза. Таким образом, выполняется соотношение:

$L^2 = H^2 + R^2$

Сначала вычислим радиус $R$ описанной окружности для треугольника в основании по формуле $R = \frac{abc}{4S_{осн}}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника:

$R = \frac{13 \cdot 13 \cdot 10}{4 \cdot 60} = \frac{1690}{240} = \frac{169}{24}$ м.

Теперь найдем высоту пирамиды $H$:

$H^2 = L^2 - R^2 = 17^2 - \left(\frac{169}{24}\right)^2 = 289 - \frac{28561}{576}$

$H^2 = \frac{289 \cdot 576}{576} - \frac{28561}{576} = \frac{166464 - 28561}{576} = \frac{137903}{576}$

$H = \sqrt{\frac{137903}{576}} = \frac{\sqrt{137903}}{24}$ м.

3. Вычислим объем пирамиды.

Подставим найденные значения $S_{осн}$ и $H$ в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 60 \cdot \frac{\sqrt{137903}}{24} = 20 \cdot \frac{\sqrt{137903}}{24}$

Сократим дробь:

$V = \frac{20 \sqrt{137903}}{24} = \frac{5 \sqrt{137903}}{6}$ м³.

Ответ: объем пирамиды равен $\frac{5 \sqrt{137903}}{6}$ м³.