Номер 65, страница 68 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

65. Основание пирамиды — равнобедренная трапеция со сторонами 8 см, 8 см, 8 см, 12 см, все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом $60^\circ$. Найдите объем пирамиды.

Для нахождения объема пирамиды используется формула $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция. Согласно условию, ее стороны равны 8 см, 8 см, 8 см и 12 см. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, следовательно, их длина составляет 8 см. Два других размера, 8 см и 12 см, являются длинами оснований. Обозначим основания как $a = 12$ см и $b = 8$ см, а боковые стороны как $c = 8$ см.

Ключевое условие задачи заключается в том, что все боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом $60^\circ$. Геометрически это означает, что вершина пирамиды (ее апекс) проецируется в центр окружности, вписанной в многоугольник основания. Расстояние от этого центра до любой стороны основания является радиусом вписанной окружности $r$. Высота пирамиды $H$ связана с этим радиусом и углом наклона $\alpha=60^\circ$ соотношением $H = r \cdot \tan(\alpha)$.

Однако, для того чтобы в трапецию можно было вписать окружность, необходимо, чтобы суммы длин ее противоположных сторон были равны. Проверим это свойство для нашей трапеции:

Сумма длин оснований: $a + b = 12 + 8 = 20$ см.

Сумма длин боковых сторон: $c + c = 8 + 8 = 16$ см.

Так как $20 \neq 16$, в данную трапецию нельзя вписать окружность. Это означает, что не существует пирамиды с таким основанием, у которой все боковые грани были бы наклонены под одинаковым углом к основанию. Следовательно, условие задачи содержит внутреннее противоречие. Вероятнее всего, в условии допущена опечатка.

Для того чтобы задача имела решение, исправим ее условие. Наиболее вероятно, что была допущена ошибка в длине боковой стороны. Чтобы суммы противоположных сторон были равны, сумма боковых сторон должна составлять 20 см. Поскольку трапеция равнобедренная, каждая боковая сторона должна быть равна $c = 20 / 2 = 10$ см. Далее будем решать задачу для трапеции с основаниями $a = 12$ см, $b = 8$ см и боковыми сторонами $c = 10$ см.

1. Находим высоту и площадь основания (исправленной трапеции).

Для нахождения высоты трапеции $h_{тр}$ опустим перпендикуляры из вершин меньшего основания на большее. Они отсекут на большем основании два равных отрезка длиной $x = \frac{a-b}{2} = \frac{12-8}{2} = 2$ см. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора находим высоту:

$h_{тр} = \sqrt{c^2 - x^2} = \sqrt{10^2 - 2^2} = \sqrt{100 - 4} = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$ см.

Площадь трапеции равна:

$S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h_{тр} = \frac{12+8}{2} \cdot 4\sqrt{6} = 10 \cdot 4\sqrt{6} = 40\sqrt{6}$ см².

2. Находим высоту пирамиды.

Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине ее высоты: $r = \frac{h_{тр}}{2} = \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6}$ см.

Высота пирамиды $H$ находится из соотношения $H = r \cdot \tan(60^\circ)$:

$H = 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \cdot 2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ см.

3. Находим объем пирамиды.

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 40\sqrt{6} \cdot 6\sqrt{2} = 40\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{2} = 80\sqrt{12} = 80\sqrt{4 \cdot 3} = 80 \cdot 2\sqrt{3} = 160\sqrt{3}$ см³.

Ответ: Задача в исходной формулировке содержит противоречивые данные и не имеет решения. Если предположить, что в условии допущена опечатка и боковые стороны трапеции равны 10 см (вместо 8 см), то объем пирамиды составляет $160\sqrt{3}$ см³.