Номер 61, страница 68 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

61. В правильной треугольной пирамиде высота 12 см, боковое ребро 13 см. Найдите объем пирамиды.

Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды воспользуемся формулой:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

По условию задачи, высота пирамиды $h = 12$ см, а боковое ребро $l = 13$ см. Основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник. Высота пирамиды опускается в центр этого треугольника, который также является центром описанной окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды ($h$), боковым ребром ($l$) и радиусом ($R$) описанной около основания окружности. В этом треугольнике боковое ребро является гипотенузой, а высота и радиус — катетами.

1. Найдем радиус R описанной окружности.

По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + R^2$.

Выразим $R^2$:

$R^2 = l^2 - h^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$

$R = \sqrt{25} = 5$ см.

2. Найдем сторону основания a.

Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности связан со стороной $a$ формулой $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Отсюда найдем сторону $a$:

$a = R \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ см.

3. Найдем площадь основания S_осн.

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

$S_{осн} = \frac{(5\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{25 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{75\sqrt{3}}{4}$ см².

4. Найдем объем пирамиды V.

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{75\sqrt{3}}{4} \cdot 12$

Сократим множители:

$V = \frac{75\sqrt{3} \cdot 12}{3 \cdot 4} = \frac{75\sqrt{3} \cdot 12}{12} = 75\sqrt{3}$ см³.

Ответ: объем пирамиды равен $75\sqrt{3}$ см³.