Номер 62, страница 68 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

62. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 20 м и 48 м. Все боковые ребра равны 30 м. Найдите объем пирамиды.

Для нахождения объема пирамиды воспользуемся формулой: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Нахождение площади основания
Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами $a = 20$ м и $b = 48$ м. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: $S_{осн} = a \cdot b$ $S_{осн} = 20 \cdot 48 = 960 \text{ м}^2$.

Нахождение высоты пирамиды
По условию, все боковые ребра пирамиды равны ($l = 30$ м). Это означает, что вершина пирамиды (S) проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника таким центром является точка пересечения его диагоналей (O).
Высота пирамиды $H$ (отрезок SO), половина диагонали основания $R$ (например, отрезок OA) и боковое ребро $l$ (отрезок SA) образуют прямоугольный треугольник $\triangle SOA$, где $l$ — гипотенуза.

Сначала найдем диагональ основания $d$ по теореме Пифагора для прямоугольника ABCD: $d^2 = a^2 + b^2 = 48^2 + 20^2 = 2304 + 400 = 2704$ м$^2$. $d = \sqrt{2704} = 52$ м.

Расстояние от центра основания до вершины $R$ равно половине диагонали: $R = \frac{d}{2} = \frac{52}{2} = 26$ м.

Теперь из прямоугольного треугольника $\triangle SOA$ по теореме Пифагора найдем высоту $H$: $l^2 = H^2 + R^2$ $H^2 = l^2 - R^2 = 30^2 - 26^2 = 900 - 676 = 224$. $H = \sqrt{224} = \sqrt{16 \cdot 14} = 4\sqrt{14}$ м.

Вычисление объема пирамиды
Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объема: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 960 \cdot 4\sqrt{14}$ $V = 320 \cdot 4\sqrt{14} = 1280\sqrt{14} \text{ м}^3$.

Ответ: $1280\sqrt{14} \text{ м}^3$.