Номер 70, страница 68 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

70. Найдите объем конуса, если его образующая равна 17 см, а площадь осевого сечения – $120 \text{ см}^2$.

Для нахождения объема конуса используется формула $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ — это радиус основания конуса, а $H$ — его высота.

Осевое сечение конуса является равнобедренным треугольником. Боковые стороны этого треугольника равны образующей конуса $l$, основание треугольника равно диаметру основания конуса ($2R$), а высота треугольника — это высота конуса $H$.

Из условия задачи нам известно, что образующая $l = 17$ см, а площадь осевого сечения $S_{сеч} = 120$ см².

Площадь осевого сечения (равнобедренного треугольника) вычисляется по формуле: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = RH$.
Из этого мы получаем первое уравнение: $RH = 120$.

Высота $H$, радиус $R$ и образующая $l$ конуса образуют прямоугольный треугольник, в котором $l$ является гипотенузой. Согласно теореме Пифагора: $R^2 + H^2 = l^2$.
Подставив известное значение $l=17$, получаем второе уравнение: $R^2 + H^2 = 17^2 = 289$.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} RH = 120 \\ R^2 + H^2 = 289 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $R$: $R = \frac{120}{H}$. Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$(\frac{120}{H})^2 + H^2 = 289$

$\frac{14400}{H^2} + H^2 = 289$

Умножим все члены уравнения на $H^2$ (при $H \neq 0$):

$14400 + H^4 = 289H^2$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить биквадратное уравнение:

$H^4 - 289H^2 + 14400 = 0$

Для решения введем замену переменной: пусть $x = H^2$. Уравнение примет вид стандартного квадратного уравнения:

$x^2 - 289x + 14400 = 0$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-289)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14400 = 83521 - 57600 = 25921$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{25921} = 161$.

Найдем корни уравнения для $x$:

$x_1 = \frac{289 + 161}{2} = \frac{450}{2} = 225$

$x_2 = \frac{289 - 161}{2} = \frac{128}{2} = 64$

Вернемся к замене $x = H^2$. Мы получили два возможных значения для квадрата высоты:

1. $H^2 = 225 \Rightarrow H = \sqrt{225} = 15$ см.
2. $H^2 = 64 \Rightarrow H = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь найдем соответствующие значения радиуса $R$ для каждого случая, используя соотношение $R = \frac{120}{H}$:

1. Если $H = 15$ см, то $R = \frac{120}{15} = 8$ см.
2. Если $H = 8$ см, то $R = \frac{120}{8} = 15$ см.

Итак, существует два конуса, которые удовлетворяют заданным условиям. Мы должны найти объем для каждого из них.

Случай 1: $R = 8$ см и $H = 15$ см.

$V_1 = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot 8^2 \cdot 15 = \frac{1}{3} \pi \cdot 64 \cdot 15 = \pi \cdot 64 \cdot 5 = 320\pi$ см³.

Случай 2: $R = 15$ см и $H = 8$ см.

$V_2 = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot 15^2 \cdot 8 = \frac{1}{3} \pi \cdot 225 \cdot 8 = \pi \cdot 75 \cdot 8 = 600\pi$ см³.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $320\pi$ см³ или $600\pi$ см³.