Номер 73, страница 68 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

Задачи для повторения. Глава III. Объемы геометрических тел - номер 73, страница 68.

Условие rus.

73. Диаметр одного арбуза втрое больше диаметра другого. Во сколько раз первый арбуз тяжелее второго?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи будем исходить из нескольких допущений: арбузы имеют форму, близкую к шару, и их плотность одинакова. Масса тела определяется как произведение его объема на плотность.

Обозначим диаметр первого арбуза как $d_1$, а второго — как $d_2$. Согласно условию задачи, диаметр первого арбуза втрое больше диаметра второго:
$d_1 = 3 \cdot d_2$

Масса ($m$) связана с объемом ($V$) и плотностью ($\rho$) формулой $m = \rho \cdot V$. Поскольку мы предположили, что плотность арбузов одинакова, отношение их масс будет равно отношению их объемов:
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{\rho \cdot V_1}{\rho \cdot V_2} = \frac{V_1}{V_2}$

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r$ — это радиус шара. Радиус, в свою очередь, равен половине диаметра: $r = \frac{d}{2}$. Подставив это в формулу объема, получим зависимость объема от диаметра:
$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{d}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{d^3}{8} = \frac{\pi d^3}{6}$

Теперь найдем отношение объемов двух арбузов, подставив в формулу их диаметры:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{\pi d_1^3}{6}}{\frac{\pi d_2^3}{6}} = \frac{d_1^3}{d_2^3} = \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^3$

Мы знаем, что $\frac{d_1}{d_2} = 3$. Следовательно, отношение масс арбузов равно:
$\frac{m_1}{m_2} = \left(3\right)^3 = 27$

Таким образом, первый арбуз тяжелее второго в 27 раз.

Ответ: первый арбуз тяжелее второго в 27 раз.