Страница 65 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

11. Сечение шара плоскостью, отстоящей от центра шара на расстоянии 8 см, имеет радиус 6 см. Найдите объем шара.

Для решения задачи обозначим радиус шара как $R$, радиус кругового сечения как $r$, а расстояние от центра шара до плоскости сечения как $d$.
Из условия нам известны:
$d = 8$ см
$r = 6$ см

Радиус шара $R$, радиус сечения $r$ и расстояние $d$ образуют прямоугольный треугольник, в котором радиус шара $R$ является гипотенузой, а $d$ и $r$ — катетами. Эту взаимосвязь можно наглядно представить на рисунке.

Используя теорему Пифагора, найдем радиус шара $R$:
$R^2 = d^2 + r^2$
Подставим известные значения:
$R^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$
$R = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь, зная радиус шара, можем вычислить его объем по формуле:
$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим значение $R = 10$ см в формулу:
$V = \frac{4}{3}\pi (10)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 1000 = \frac{4000}{3}\pi$ см$^3$.

Ответ: $\frac{4000}{3}\pi$ см$^3$.

12. Найдите площадь поверхности шара диаметром 12 см.

Для нахождения площади поверхности шара ($S$) используется формула $S = 4 \pi R^2$, где $R$ — это радиус шара.

По условию задачи дан диаметр шара $d = 12$ см. Радиус шара равен половине его диаметра. Вычислим радиус:

$R = \frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Теперь подставим значение радиуса в формулу для площади поверхности шара:

$S = 4 \pi \cdot (6)^2 = 4 \pi \cdot 36 = 144 \pi$ см$^2$.

Ответ: $144 \pi \text{ см}^2$.

13. Площадь сферы равна 3,14 дм². Найдите ее радиус.

Для нахождения радиуса сферы используется формула площади ее поверхности: $S = 4\pi R^2$, где $S$ — это площадь поверхности сферы, а $R$ — ее радиус.

В условии задачи дано, что площадь сферы $S = 3,14$ дм². Мы также знаем, что число $\pi$ (пи) приблизительно равно $3,14$. Подставим известные значения в формулу.

$S = 3,14$ дм²

$\pi \approx 3,14$

Получаем уравнение:

$3,14 = 4 \cdot 3,14 \cdot R^2$

Чтобы найти $R^2$, разделим обе части уравнения на $4 \cdot 3,14$:

$R^2 = \frac{3,14}{4 \cdot 3,14}$

Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на $3,14$:

$R^2 = \frac{1}{4}$

или в десятичном виде:

$R^2 = 0,25$

Теперь найдем радиус $R$, извлекая квадратный корень из $R^2$. Так как радиус является длиной, он должен быть положительным числом.

$R = \sqrt{0,25} = 0,5$

Единица измерения радиуса будет такой же, как и у исходных данных для длины, то есть дециметры (дм).

Ответ: $0,5$ дм.

14. В каком случае расходуется больше материала: на никелировку одного шара диаметром 8 см или на никелировку 15 шаров диаметром 2 см каждый?

Чтобы определить, в каком случае расходуется больше материала, необходимо сравнить общие площади поверхностей, которые подлежат никелировке. Количество материала прямо пропорционально площади поверхности.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi r^2$, где $r$ – это радиус шара. Так как радиус равен половине диаметра ($r = d/2$), формулу можно переписать через диаметр $d$: $S = 4\pi(d/2)^2 = 4\pi(d^2/4) = \pi d^2$.

Рассмотрим первый случай: никелировка одного шара диаметром 8 см.

Диаметр шара $d_1 = 8$ см.
Площадь его поверхности $S_1$ равна:
$S_1 = \pi d_1^2 = \pi \cdot 8^2 = 64\pi$ см$^2$.

Рассмотрим второй случай: никелировка 15 шаров диаметром 2 см каждый.

Диаметр одного малого шара $d_2 = 2$ см.
Площадь поверхности одного такого шара $S_2$ равна:
$S_2 = \pi d_2^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ см$^2$.
Поскольку всего 15 таких шаров, их общая площадь поверхности $S_{общ}$ будет:
$S_{общ} = 15 \cdot S_2 = 15 \cdot 4\pi = 60\pi$ см$^2$.

Сравним полученные площади.

Площадь поверхности большого шара $S_1 = 64\pi$ см$^2$.
Общая площадь поверхности 15 малых шаров $S_{общ} = 60\pi$ см$^2$.
Сравнивая эти два значения, получаем:
$64\pi > 60\pi$, следовательно, $S_1 > S_{общ}$.
Это означает, что на никелировку одного большого шара материала потребуется больше, чем на 15 малых.

Ответ: больше материала расходуется на никелировку одного шара диаметром 8 см.

15. Как соотносятся площади сферы, вписанной в куб и описанной около этого же куба?

Для нахождения соотношения площадей вписанной и описанной сфер, необходимо выразить их радиусы через одну и ту же величину, например, через длину ребра куба. Пусть длина ребра куба равна $a$.

Площадь вписанной сферы

Вписанная в куб сфера касается центров всех его шести граней. Следовательно, диаметр вписанной сферы равен длине ребра куба $a$.

Радиус вписанной сферы $r$ равен половине диаметра:

$r = \frac{a}{2}$

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле $S = 4 \pi r^2$. Для вписанной сферы ($S_{вп}$):

$S_{вп} = 4 \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 4 \pi \frac{a^2}{4} = \pi a^2$

Площадь описанной сферы

Описанная около куба сфера проходит через все восемь его вершин. Следовательно, диаметр описанной сферы $D$ равен главной диагонали куба.

Главную диагональ куба ($d_{куба}$) можно найти по теореме Пифагора. Она равна корню из суммы квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты):

$d_{куба} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Радиус описанной сферы $R$ равен половине ее диаметра $D = d_{куба}$:

$R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Площадь поверхности описанной сферы ($S_{оп}$):

$S_{оп} = 4 \pi R^2 = 4 \pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 4 \pi \frac{a^2 \cdot 3}{4} = 3\pi a^2$

Для наглядности можно рассмотреть диагональное сечение куба, проходящее через его главную диагональ. Это сечение представляет собой прямоугольник со сторонами $a$ и $a\sqrt{2}$. Вписанная и описанная сферы в этом сечении будут выглядеть как вписанная и описанная окружности.

Соотношение площадей

Теперь найдем отношение площади вписанной сферы к площади описанной сферы:

$\frac{S_{вп}}{S_{оп}} = \frac{\pi a^2}{3\pi a^2}$

Сократив $\pi a^2$ в числителе и знаменателе, получаем:

$\frac{S_{вп}}{S_{оп}} = \frac{1}{3}$

Таким образом, площадь вписанной сферы в 3 раза меньше площади описанной сферы.

Ответ: Площадь вписанной в куб сферы относится к площади описанной около него сферы как 1:3.

1. Площадь одной боковой поверхности правильной четырехугольной призмы равна $11 \text{ дм}^2$. Найдите площадь ее боковой поверхности.

Правильная четырехугольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат. Боковые грани такой призмы представляют собой четыре равных друг другу прямоугольника.

Площадь всей боковой поверхности ($S_{бок}$) равна сумме площадей всех ее боковых граней. Так как у правильной четырехугольной призмы 4 одинаковые боковые грани, для нахождения общей площади боковой поверхности нужно умножить площадь одной грани на их количество.

Пусть $S_{грани}$ — площадь одной боковой грани. Тогда площадь боковой поверхности вычисляется по формуле:$S_{бок} = 4 \cdot S_{грани}$

По условию задачи, площадь одной боковой грани составляет 11 дм²:$S_{грани} = 11 \text{ дм}^2$

Подставим известное значение в формулу и произведем расчет:$S_{бок} = 4 \cdot 11 \text{ дм}^2 = 44 \text{ дм}^2$

Ответ: 44 дм².

2. Найдите высоту правильной четырехугольной призмы, сторона основания которой равна 8 см, а диагональ боковой грани — 17 см.

По условию задачи дана правильная четырехугольная призма. Это означает, что в ее основании лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат, а боковые грани являются прямоугольниками, которые перпендикулярны основаниям. Высота призмы, которую необходимо найти (обозначим ее $h$), равна длине бокового ребра, а также высоте каждой из боковых граней.

Рассмотрим одну из боковых граней. Она представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника — это сторона основания призмы (обозначим ее $a$), а другая — высота призмы ($h$). Диагональ этой боковой грани (обозначим ее $d$) является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат сторона основания $a$ и высота $h$.

Для нахождения высоты $h$ воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + h^2 = d^2$

Выразим из этой формулы высоту $h$: $h^2 = d^2 - a^2$ $h = \sqrt{d^2 - a^2}$

Теперь подставим в формулу известные значения из условия задачи: сторона основания $a = 8$ см и диагональ боковой грани $d = 17$ см. $h = \sqrt{17^2 - 8^2}$ $h = \sqrt{289 - 64}$ $h = \sqrt{225}$ $h = 15$ см

Таким образом, высота данной правильной четырехугольной призмы составляет 15 см.

Ответ: 15 см.

3. Боковое ребро треугольной прямой призмы равно 3 см, а стороны оснований равны 3 см, 7 см и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — это периметр основания призмы, а $h$ — ее высота. В прямой призме высота равна длине бокового ребра.

Согласно условию задачи, в основании призмы лежит треугольник со сторонами $a = 3$ см, $b = 7$ см и $c = 8$ см. Высота призмы (длина бокового ребра) $h = 3$ см.

Сначала вычислим периметр треугольника, лежащего в основании призмы:
$P_{осн} = a + b + c = 3 + 7 + 8 = 18$ см.

Теперь, зная периметр основания и высоту, найдем площадь боковой поверхности призмы:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 18 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 54 \text{ см}^2$.

Этот же результат можно получить, сложив площади трех боковых граней, каждая из которых является прямоугольником. Высота у всех граней одинаковая и равна 3 см, а длины оснований равны сторонам треугольника.
Площадь первой грани: $S_1 = 3 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 9 \text{ см}^2$.
Площадь второй грани: $S_2 = 7 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 21 \text{ см}^2$.
Площадь третьей грани: $S_3 = 8 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 24 \text{ см}^2$.
Сумма площадей: $S_{бок} = S_1 + S_2 + S_3 = 9 + 21 + 24 = 54 \text{ см}^2$.
Ответ: $54 \text{ см}^2$.

4. Боковое ребро треугольной наклонной призмы равно 6 см, а расстояния между боковыми ребрами равны 9 см, 10 см, 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{перп} \cdot l$, где $l$ — длина бокового ребра, а $P_{перп}$ — периметр перпендикулярного сечения призмы.

Перпендикулярное сечение — это многоугольник, который образуется при пересечении призмы плоскостью, перпендикулярной ее боковым ребрам. Для треугольной призмы перпендикулярным сечением является треугольник. Стороны этого треугольника равны расстояниям между параллельными боковыми ребрами, так как расстояние между параллельными прямыми измеряется по общему перпендикуляру, а плоскость сечения как раз перпендикулярна всем боковым ребрам.

Согласно условию задачи, у нас есть:

Длина бокового ребра $l = 6$ см.

Стороны перпендикулярного сечения (расстояния между боковыми ребрами) равны $9$ см, $10$ см и $5$ см.

Сначала найдем периметр перпендикулярного сечения $P_{перп}$:

$P_{перп} = 9 + 10 + 5 = 24$ см.

Теперь, используя формулу, вычислим площадь боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = P_{перп} \cdot l = 24 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 144 \text{ см}^2$.

Ответ: $144 \text{ см}^2$.

5. Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы

равна $288 \text{ дм}^2$, а диагональ боковой грани – $10 \text{ дм}$. Найдите сторону

основания и высоту призмы.

Задача состоит в нахождении стороны основания и высоты правильной шестиугольной призмы по известной площади боковой поверхности и диагонали боковой грани. Правильная шестиугольная призма — это прямая призма, основаниями которой являются два правильных шестиугольника. Боковые грани такой призмы — шесть одинаковых прямоугольников.

Пусть $a$ — сторона основания призмы, а $h$ — ее высота.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ правильной шестиугольной призмы равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту $h$. Периметр правильного шестиугольника со стороной $a$ равен $P_{осн} = 6a$. Таким образом, $S_{бок} = 6ah$.

По условию задачи $S_{бок} = 288$ дм². Составим первое уравнение: $6ah = 288$ Разделим обе части на 6: $ah = 48$

Боковая грань призмы представляет собой прямоугольник со сторонами $a$ и $h$. Диагональ этого прямоугольника $d$ дана по условию и равна 10 дм.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами $a$, $h$ и диагональю $d$, имеем: $a^2 + h^2 = d^2$

Подставим значение $d = 10$ дм и получим второе уравнение: $a^2 + h^2 = 10^2$ $a^2 + h^2 = 100$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными: $\begin{cases} ah = 48 \\ a^2 + h^2 = 100 \end{cases}$

Выразим $h$ из первого уравнения: $h = \frac{48}{a}$. Подставим это выражение во второе уравнение: $a^2 + (\frac{48}{a})^2 = 100$ $a^2 + \frac{2304}{a^2} = 100$

Умножим обе части уравнения на $a^2$ (так как $a > 0$): $a^4 + 2304 = 100a^2$ $a^4 - 100a^2 + 2304 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $x = a^2$. Тогда уравнение примет вид: $x^2 - 100x + 2304 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2304 = 10000 - 9216 = 784$ $\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$

Найдем корни для $x$: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{100 + 28}{2} = \frac{128}{2} = 64$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{100 - 28}{2} = \frac{72}{2} = 36$

Теперь вернемся к переменной $a$. Так как $x = a^2$, получаем два возможных случая:

1. $a^2 = 64$. Так как сторона $a$ должна быть положительной, $a = \sqrt{64} = 8$ дм. Найдем соответствующую высоту $h$: $h = \frac{48}{a} = \frac{48}{8} = 6$ дм.

2. $a^2 = 36$. Тогда $a = \sqrt{36} = 6$ дм. Найдем соответствующую высоту $h$: $h = \frac{48}{a} = \frac{48}{6} = 8$ дм.

Таким образом, задача имеет два возможных решения для размеров призмы, которые удовлетворяют условиям.

Ответ: сторона основания равна 8 дм и высота 6 дм, или сторона основания равна 6 дм и высота 8 дм.

6. Площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы равна $102 \text{ дм}^2$, а площадь боковой поверхности — $84 \text{ дм}^2$. Найдите высоту призмы.

Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) правильной призмы вычисляется как сумма площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и удвоенной площади основания ($S_{осн}$):
$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

По условию задачи, $S_{полн} = 102 \text{ дм}^2$ и $S_{бок} = 84 \text{ дм}^2$. Используя эти данные, найдем площадь одного основания.
$102 = 84 + 2 \cdot S_{осн}$
$2 \cdot S_{осн} = 102 - 84$
$2 \cdot S_{осн} = 18 \text{ дм}^2$
$S_{осн} = \frac{18}{2} = 9 \text{ дм}^2$

Так как призма является правильной четырехугольной, в ее основании лежит квадрат. Пусть сторона этого квадрата равна $a$. Площадь квадрата равна $a^2$.
$S_{осн} = a^2 = 9 \text{ дм}^2$
Отсюда находим длину стороны основания:
$a = \sqrt{9} = 3 \text{ дм}$

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$
где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы.

Периметр квадрата в основании равен:
$P_{осн} = 4a = 4 \cdot 3 = 12 \text{ дм}$

Теперь, зная площадь боковой поверхности и периметр основания, мы можем найти высоту призмы $h$:
$h = \frac{S_{бок}}{P_{осн}}$
$h = \frac{84}{12} = 7 \text{ дм}$

Ответ: 7 дм.

7. Боковое ребро наклонной призмы составляет с плоскостью основания угол $30^\circ$. Боковое ребро призмы 22 см. Найдите ее высоту.

Пусть $l$ - длина бокового ребра наклонной призмы, $h$ - ее высота, а $\alpha$ - угол, который боковое ребро составляет с плоскостью основания.

По условию задачи, нам известно, что длина бокового ребра $l = 22$ см, а угол наклона $\alpha = 30^\circ$.

Высота призмы $h$, боковое ребро $l$ и проекция этого ребра на плоскость основания образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике боковое ребро $l$ является гипотенузой, а высота $h$ - катетом, противолежащим углу $\alpha$.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике, который равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, следует: $ \sin(\alpha) = \frac{h}{l} $

Выразим из этой формулы высоту $h$: $ h = l \cdot \sin(\alpha) $

Подставим известные значения в полученную формулу: $ h = 22 \cdot \sin(30^\circ) $

Зная, что $ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $, произведем вычисление: $ h = 22 \cdot \frac{1}{2} = 11 $ см.

Ответ: 11 см.

8. Через два противоположных ребра куба проведено сечение, площадь которого равна $25\sqrt{2}$ см². Найдите диагональ боковой грани и ребра куба.

Ребро куба

Пусть ребро куба равно $a$. Сечение, проведенное через два противоположных ребра куба (например, ребра $AD$ и $B'C'$), представляет собой прямоугольник ($ADC'B'$).

Сторонами этого прямоугольника являются ребро куба $a$ (сторона $AD$) и диагональ боковой грани куба $d$ (сторона $DC'$).

Диагональ боковой грани (которая является квадратом со стороной $a$) по теореме Пифагора равна $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Площадь сечения $S$ вычисляется как произведение его сторон: $S = a \cdot d = a \cdot (a\sqrt{2}) = a^2\sqrt{2}$.

По условию задачи площадь сечения равна $S = 25\sqrt{2}$ см². Приравниваем и решаем уравнение:

$a^2\sqrt{2} = 25\sqrt{2}$

$a^2 = 25$

Поскольку $a$ — это длина ребра, она должна быть положительной, поэтому $a = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: ребро куба равно 5 см.

Диагональ боковой грани

Диагональ боковой грани $d$ связана с ребром куба $a$ соотношением $d = a\sqrt{2}$.

Подставим найденное значение ребра $a = 5$ см в эту формулу:

$d = 5\sqrt{2}$ см.

Ответ: диагональ боковой грани равна $5\sqrt{2}$ см.

9. Длина диагонали куба $ \sqrt{108} $ см. Найдите ребро куба.

Для решения задачи воспользуемся формулой, связывающей диагональ куба $d$ и его ребро $a$. Квадрат диагонали куба равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты). Так как у куба все ребра равны и их длина равна $a$, то формула выглядит следующим образом: $d^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем формулу для диагонали: $d = a\sqrt{3}$.

По условию задачи, длина диагонали куба составляет $d = \sqrt{108}$ см. Подставим это значение в выведенную формулу:
$a\sqrt{3} = \sqrt{108}$

Теперь выразим длину ребра $a$. Для этого разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$ и выполним вычисления. Можно упростить выражение, записав его под один корень:
$a = \frac{\sqrt{108}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{108}{3}} = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

10. Найдите площадь полной поверхности куба, если ребро равно:

а) 3 см;

б) 8 см;

в) 2 м.

Площадь полной поверхности куба — это сумма площадей всех его шести граней. Поскольку все грани куба — это равные квадраты, площадь полной поверхности $S$ можно найти, умножив площадь одной грани на 6. Если длина ребра куба равна $a$, то площадь одной грани составляет $a^2$. Таким образом, формула для вычисления площади полной поверхности куба: $S = 6a^2$.

а) Дано ребро куба $a = 3$ см. Подставим это значение в формулу:

$S = 6 \times a^2 = 6 \times (3 \text{ см})^2 = 6 \times 9 \text{ см}^2 = 54 \text{ см}^2$.

Ответ: $54 \text{ см}^2$.

б) Дано ребро куба $a = 8$ см. Подставим это значение в формулу:

$S = 6 \times a^2 = 6 \times (8 \text{ см})^2 = 6 \times 64 \text{ см}^2 = 384 \text{ см}^2$.

Ответ: $384 \text{ см}^2$.

в) Дано ребро куба $a = 2$ м. Подставим это значение в формулу:

$S = 6 \times a^2 = 6 \times (2 \text{ м})^2 = 6 \times 4 \text{ м}^2 = 24 \text{ м}^2$.

Ответ: $24 \text{ м}^2$.

11. Дан прямоугольный параллелепипед, в его основании лежит прямоугольник со сторонами 5 см и 7 см, высота параллелепипеда равна 16 см. Найдите площади боковой и полной поверхностей этого параллелепипеда.

По условию, дан прямоугольный параллелепипед. Размеры его основания, которое является прямоугольником, равны $a = 5$ см и $b = 7$ см. Высота параллелепипеда $h = 16$ см. Необходимо найти площади боковой и полной поверхностей.

Площадь боковой поверхности
Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение периметра его основания ($P_{осн}$) на высоту ($h$).
Формула: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$.
Периметр основания (прямоугольника) вычисляется по формуле: $P_{осн} = 2(a+b)$.
Подставим известные значения:
$P_{осн} = 2(5 + 7) = 2 \cdot 12 = 24$ см.
Теперь вычисляем площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = 24 \text{ см} \cdot 16 \text{ см} = 384 \text{ см}^2$.
Ответ: площадь боковой поверхности равна $384 \text{ см}^2$.

Площадь полной поверхности
Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания ($S_{осн}$).
Формула: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.
Сначала найдем площадь основания. Основание – это прямоугольник со сторонами $a=5$ см и $b=7$ см.
Формула площади основания: $S_{осн} = a \cdot b$.
Подставляем известные значения:
$S_{осн} = 5 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} = 35 \text{ см}^2$.
Теперь вычисляем площадь полной поверхности, используя найденные значения $S_{бок}$ и $S_{осн}$:
$S_{полн} = 384 \text{ см}^2 + 2 \cdot 35 \text{ см}^2 = 384 \text{ см}^2 + 70 \text{ см}^2 = 454 \text{ см}^2$.
Ответ: площадь полной поверхности равна $454 \text{ см}^2$.

12. Вычислите длину ребра куба, если его полная поверхность равна:

а) $300\text{ см}^2$;

б) $1600\text{ см}^2$;

в) $294\text{ см}^2$.

Полная поверхность куба состоит из 6 одинаковых граней, каждая из которых является квадратом. Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда площадь одной грани равна $a^2$. Следовательно, площадь полной поверхности куба $S$ вычисляется по формуле:

$S = 6a^2$

Чтобы найти длину ребра $a$, зная площадь полной поверхности $S$, необходимо выразить $a$ из этой формулы:

$a^2 = \frac{S}{6}$

$a = \sqrt{\frac{S}{6}}$

Теперь решим задачу для каждого из заданных значений площади поверхности.

а) Дано, что полная поверхность куба $S = 300 \, \text{см}^2$.

Сначала найдем площадь одной грани:

$a^2 = \frac{300}{6} = 50 \, \text{см}^2$

Далее, чтобы найти длину ребра $a$, извлечем квадратный корень из площади грани:

$a = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \, \text{см}$

Ответ: $5\sqrt{2} \, \text{см}$.

б) Дано, что полная поверхность куба $S = 1600 \, \text{см}^2$.

Найдем площадь одной грани:

$a^2 = \frac{1600}{6} = \frac{800}{3} \, \text{см}^2$

Теперь вычислим длину ребра $a$:

$a = \sqrt{\frac{800}{3}} = \frac{\sqrt{800}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{400 \cdot 2}}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$a = \frac{20\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{6}}{3} \, \text{см}$

Ответ: $\frac{20\sqrt{6}}{3} \, \text{см}$.

в) Дано, что полная поверхность куба $S = 294 \, \text{см}^2$.

Найдем площадь одной грани:

$a^2 = \frac{294}{6} = 49 \, \text{см}^2$

Теперь вычислим длину ребра $a$:

$a = \sqrt{49} = 7 \, \text{см}$

Ответ: $7 \, \text{см}$.

13. Вычислите площадь полной поверхности куба, если площадь его боковой поверхности равна:

а) 196 см$^2$;

б) 484 см$^2$;

в) 784 см$^2$.

Площадь полной поверхности куба ($S_{полн}$) — это сумма площадей всех шести его граней. Площадь боковой поверхности куба ($S_{бок}$) — это сумма площадей четырёх его боковых граней. Поскольку все грани куба — равные квадраты, можно установить связь между этими двумя величинами.
Пусть ребро куба равно $a$. Тогда площадь одной грани куба равна $a^2$.
Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле: $S_{бок} = 4a^2$.
Площадь полной поверхности вычисляется по формуле: $S_{полн} = 6a^2$.
Из формулы для боковой поверхности мы можем найти площадь одной грани: $a^2 = \frac{S_{бок}}{4}$.
Подставив это значение в формулу для полной поверхности, получим:
$S_{полн} = 6 \cdot a^2 = 6 \cdot \left(\frac{S_{бок}}{4}\right) = \frac{6}{4} \cdot S_{бок} = 1.5 \cdot S_{бок}$.
Таким образом, чтобы найти площадь полной поверхности куба, достаточно умножить площадь его боковой поверхности на 1.5.

а)

Если площадь боковой поверхности равна $196 \text{ см}^2$.
Сначала найдем площадь одной грани:
$S_{грани} = \frac{S_{бок}}{4} = \frac{196}{4} = 49 \text{ см}^2$.
Теперь вычислим площадь полной поверхности, умножив площадь одной грани на 6:
$S_{полн} = 6 \cdot S_{грани} = 6 \cdot 49 = 294 \text{ см}^2$.
Ответ: $294 \text{ см}^2$.

б)

Если площадь боковой поверхности равна $484 \text{ см}^2$.
Найдем площадь одной грани:
$S_{грани} = \frac{S_{бок}}{4} = \frac{484}{4} = 121 \text{ см}^2$.
Вычислим площадь полной поверхности:
$S_{полн} = 6 \cdot S_{грани} = 6 \cdot 121 = 726 \text{ см}^2$.
Ответ: $726 \text{ см}^2$.

в)

Если площадь боковой поверхности равна $784 \text{ см}^2$.
Найдем площадь одной грани:
$S_{грани} = \frac{S_{бок}}{4} = \frac{784}{4} = 196 \text{ см}^2$.
Вычислим площадь полной поверхности:
$S_{полн} = 6 \cdot S_{грани} = 6 \cdot 196 = 1176 \text{ см}^2$.
Ответ: $1176 \text{ см}^2$.

14. Площади трех граней прямоугольного параллелепипеда равны $15 \, \text{дм}^2$, $36 \, \text{дм}^2$ и $60 \, \text{дм}^2$. Найдите его три измерения.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда — его длина, ширина и высота — равны $a$, $b$ и $c$.

Прямоугольный параллелепипед имеет три пары равных граней. Три грани, сходящиеся в одной вершине, являются прямоугольниками с площадями, равными произведениям пар его измерений. Обозначим эти площади как $S_1$, $S_2$ и $S_3$.

Согласно условию задачи, площади трех граней равны 15 дм², 36 дм² и 60 дм². Мы можем составить систему из трех уравнений, связав измерения с площадями:
$a \cdot b = 15$
$a \cdot c = 36$
$b \cdot c = 60$

Для решения этой системы уравнений перемножим все три уравнения между собой:
$(a \cdot b) \cdot (a \cdot c) \cdot (b \cdot c) = 15 \cdot 36 \cdot 60$
$a^2 \cdot b^2 \cdot c^2 = 32400$
$(a \cdot b \cdot c)^2 = 32400$

Произведение $a \cdot b \cdot c$ равно объему $V$ параллелепипеда. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти объем (поскольку измерения являются положительными величинами, объем также положителен):
$V = a \cdot b \cdot c = \sqrt{32400} = \sqrt{324 \cdot 100} = 18 \cdot 10 = 180$ дм³

Теперь, зная объем и площади граней, мы можем найти каждое из трех измерений. Для этого нужно разделить объем на площадь грани, которая не включает искомое измерение.

Найдем измерение $c$, разделив объем на площадь грани $a \cdot b$:
$c = \frac{a \cdot b \cdot c}{a \cdot b} = \frac{180}{15} = 12$ дм.

Найдем измерение $b$, разделив объем на площадь грани $a \cdot c$:
$b = \frac{a \cdot b \cdot c}{a \cdot c} = \frac{180}{36} = 5$ дм.

Найдем измерение $a$, разделив объем на площадь грани $b \cdot c$:
$a = \frac{a \cdot b \cdot c}{b \cdot c} = \frac{180}{60} = 3$ дм.

Таким образом, мы нашли три измерения параллелепипеда: 3 дм, 5 дм и 12 дм. Проведем проверку, вычислив площади граней с этими измерениями:
Площадь первой грани: $3 \cdot 5 = 15$ дм².
Площадь второй грани: $3 \cdot 12 = 36$ дм².
Площадь третьей грани: $5 \cdot 12 = 60$ дм².
Полученные площади соответствуют условию задачи.

Ответ: три измерения прямоугольного параллелепипеда равны 3 дм, 5 дм и 12 дм.

15. Основанием прямого параллелепипеда является ромб с диагоналями 10 см и 24 см. Боковое ребро параллелепипеда равно 12,5 см. Найдите его полную поверхность.

Площадь полной поверхности прямого параллелепипеда находится по формуле: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$, где $S_{бок}$ — это площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ — площадь основания.

1. Найдем площадь основания ($S_{осн}$)

Основанием параллелепипеда является ромб с диагоналями $d_1 = 10$ см и $d_2 = 24$ см. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 5 \cdot 24 = 120$ см².

2. Найдем площадь боковой поверхности ($S_{бок}$)

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда (и любой прямой призмы) равна произведению периметра основания на высоту: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$.

Высота параллелепипеда равна его боковому ребру, то есть $h = 12,5$ см.

Для нахождения периметра основания ($P_{осн}$) сначала нужно найти сторону ромба ($a$). Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Они образуют четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты такого треугольника равны половинам диагоналей, а гипотенуза — стороне ромба.

Половины диагоналей: $\frac{10}{2} = 5$ см и $\frac{24}{2} = 12$ см.

По теореме Пифагора найдем сторону ромба $a$:

$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

Периметр ромба равен $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 13 = 52$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 52 \cdot 12,5 = 650$ см².

3. Найдем площадь полной поверхности ($S_{полн}$)

Сложим удвоенную площадь основания и площадь боковой поверхности:

$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 120 + 650 = 240 + 650 = 890$ см².

Ответ: 890 см².