Номер 15, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

15. Как соотносятся площади сферы, вписанной в куб и описанной около этого же куба?

Для нахождения соотношения площадей вписанной и описанной сфер, необходимо выразить их радиусы через одну и ту же величину, например, через длину ребра куба. Пусть длина ребра куба равна $a$.

Площадь вписанной сферы

Вписанная в куб сфера касается центров всех его шести граней. Следовательно, диаметр вписанной сферы равен длине ребра куба $a$.

Радиус вписанной сферы $r$ равен половине диаметра:

$r = \frac{a}{2}$

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле $S = 4 \pi r^2$. Для вписанной сферы ($S_{вп}$):

$S_{вп} = 4 \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 4 \pi \frac{a^2}{4} = \pi a^2$

Площадь описанной сферы

Описанная около куба сфера проходит через все восемь его вершин. Следовательно, диаметр описанной сферы $D$ равен главной диагонали куба.

Главную диагональ куба ($d_{куба}$) можно найти по теореме Пифагора. Она равна корню из суммы квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты):

$d_{куба} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Радиус описанной сферы $R$ равен половине ее диаметра $D = d_{куба}$:

$R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Площадь поверхности описанной сферы ($S_{оп}$):

$S_{оп} = 4 \pi R^2 = 4 \pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 4 \pi \frac{a^2 \cdot 3}{4} = 3\pi a^2$

Для наглядности можно рассмотреть диагональное сечение куба, проходящее через его главную диагональ. Это сечение представляет собой прямоугольник со сторонами $a$ и $a\sqrt{2}$. Вписанная и описанная сферы в этом сечении будут выглядеть как вписанная и описанная окружности.

Соотношение площадей

Теперь найдем отношение площади вписанной сферы к площади описанной сферы:

$\frac{S_{вп}}{S_{оп}} = \frac{\pi a^2}{3\pi a^2}$

Сократив $\pi a^2$ в числителе и знаменателе, получаем:

$\frac{S_{вп}}{S_{оп}} = \frac{1}{3}$

Таким образом, площадь вписанной сферы в 3 раза меньше площади описанной сферы.

Ответ: Площадь вписанной в куб сферы относится к площади описанной около него сферы как 1:3.