Номер 5, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

5. Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы

равна $288 \text{ дм}^2$, а диагональ боковой грани – $10 \text{ дм}$. Найдите сторону

основания и высоту призмы.

Задача состоит в нахождении стороны основания и высоты правильной шестиугольной призмы по известной площади боковой поверхности и диагонали боковой грани. Правильная шестиугольная призма — это прямая призма, основаниями которой являются два правильных шестиугольника. Боковые грани такой призмы — шесть одинаковых прямоугольников.

Пусть $a$ — сторона основания призмы, а $h$ — ее высота.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ правильной шестиугольной призмы равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту $h$. Периметр правильного шестиугольника со стороной $a$ равен $P_{осн} = 6a$. Таким образом, $S_{бок} = 6ah$.

По условию задачи $S_{бок} = 288$ дм². Составим первое уравнение: $6ah = 288$ Разделим обе части на 6: $ah = 48$

Боковая грань призмы представляет собой прямоугольник со сторонами $a$ и $h$. Диагональ этого прямоугольника $d$ дана по условию и равна 10 дм.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами $a$, $h$ и диагональю $d$, имеем: $a^2 + h^2 = d^2$

Подставим значение $d = 10$ дм и получим второе уравнение: $a^2 + h^2 = 10^2$ $a^2 + h^2 = 100$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными: $\begin{cases} ah = 48 \\ a^2 + h^2 = 100 \end{cases}$

Выразим $h$ из первого уравнения: $h = \frac{48}{a}$. Подставим это выражение во второе уравнение: $a^2 + (\frac{48}{a})^2 = 100$ $a^2 + \frac{2304}{a^2} = 100$

Умножим обе части уравнения на $a^2$ (так как $a > 0$): $a^4 + 2304 = 100a^2$ $a^4 - 100a^2 + 2304 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $x = a^2$. Тогда уравнение примет вид: $x^2 - 100x + 2304 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2304 = 10000 - 9216 = 784$ $\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$

Найдем корни для $x$: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{100 + 28}{2} = \frac{128}{2} = 64$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{100 - 28}{2} = \frac{72}{2} = 36$

Теперь вернемся к переменной $a$. Так как $x = a^2$, получаем два возможных случая:

1. $a^2 = 64$. Так как сторона $a$ должна быть положительной, $a = \sqrt{64} = 8$ дм. Найдем соответствующую высоту $h$: $h = \frac{48}{a} = \frac{48}{8} = 6$ дм.

2. $a^2 = 36$. Тогда $a = \sqrt{36} = 6$ дм. Найдем соответствующую высоту $h$: $h = \frac{48}{a} = \frac{48}{6} = 8$ дм.

Таким образом, задача имеет два возможных решения для размеров призмы, которые удовлетворяют условиям.

Ответ: сторона основания равна 8 дм и высота 6 дм, или сторона основания равна 6 дм и высота 8 дм.