Номер 12, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

12. Вычислите длину ребра куба, если его полная поверхность равна:

а) $300\text{ см}^2$;

б) $1600\text{ см}^2$;

в) $294\text{ см}^2$.

Полная поверхность куба состоит из 6 одинаковых граней, каждая из которых является квадратом. Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда площадь одной грани равна $a^2$. Следовательно, площадь полной поверхности куба $S$ вычисляется по формуле:

$S = 6a^2$

Чтобы найти длину ребра $a$, зная площадь полной поверхности $S$, необходимо выразить $a$ из этой формулы:

$a^2 = \frac{S}{6}$

$a = \sqrt{\frac{S}{6}}$

Теперь решим задачу для каждого из заданных значений площади поверхности.

а) Дано, что полная поверхность куба $S = 300 \, \text{см}^2$.

Сначала найдем площадь одной грани:

$a^2 = \frac{300}{6} = 50 \, \text{см}^2$

Далее, чтобы найти длину ребра $a$, извлечем квадратный корень из площади грани:

$a = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \, \text{см}$

Ответ: $5\sqrt{2} \, \text{см}$.

б) Дано, что полная поверхность куба $S = 1600 \, \text{см}^2$.

Найдем площадь одной грани:

$a^2 = \frac{1600}{6} = \frac{800}{3} \, \text{см}^2$

Теперь вычислим длину ребра $a$:

$a = \sqrt{\frac{800}{3}} = \frac{\sqrt{800}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{400 \cdot 2}}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$a = \frac{20\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{6}}{3} \, \text{см}$

Ответ: $\frac{20\sqrt{6}}{3} \, \text{см}$.

в) Дано, что полная поверхность куба $S = 294 \, \text{см}^2$.

Найдем площадь одной грани:

$a^2 = \frac{294}{6} = 49 \, \text{см}^2$

Теперь вычислим длину ребра $a$:

$a = \sqrt{49} = 7 \, \text{см}$

Ответ: $7 \, \text{см}$.