Номер 13, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

13. Вычислите площадь полной поверхности куба, если площадь его боковой поверхности равна:

а) 196 см$^2$;

б) 484 см$^2$;

в) 784 см$^2$.

Площадь полной поверхности куба ($S_{полн}$) — это сумма площадей всех шести его граней. Площадь боковой поверхности куба ($S_{бок}$) — это сумма площадей четырёх его боковых граней. Поскольку все грани куба — равные квадраты, можно установить связь между этими двумя величинами.
Пусть ребро куба равно $a$. Тогда площадь одной грани куба равна $a^2$.
Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле: $S_{бок} = 4a^2$.
Площадь полной поверхности вычисляется по формуле: $S_{полн} = 6a^2$.
Из формулы для боковой поверхности мы можем найти площадь одной грани: $a^2 = \frac{S_{бок}}{4}$.
Подставив это значение в формулу для полной поверхности, получим:
$S_{полн} = 6 \cdot a^2 = 6 \cdot \left(\frac{S_{бок}}{4}\right) = \frac{6}{4} \cdot S_{бок} = 1.5 \cdot S_{бок}$.
Таким образом, чтобы найти площадь полной поверхности куба, достаточно умножить площадь его боковой поверхности на 1.5.

а)

Если площадь боковой поверхности равна $196 \text{ см}^2$.
Сначала найдем площадь одной грани:
$S_{грани} = \frac{S_{бок}}{4} = \frac{196}{4} = 49 \text{ см}^2$.
Теперь вычислим площадь полной поверхности, умножив площадь одной грани на 6:
$S_{полн} = 6 \cdot S_{грани} = 6 \cdot 49 = 294 \text{ см}^2$.
Ответ: $294 \text{ см}^2$.

б)

Если площадь боковой поверхности равна $484 \text{ см}^2$.
Найдем площадь одной грани:
$S_{грани} = \frac{S_{бок}}{4} = \frac{484}{4} = 121 \text{ см}^2$.
Вычислим площадь полной поверхности:
$S_{полн} = 6 \cdot S_{грани} = 6 \cdot 121 = 726 \text{ см}^2$.
Ответ: $726 \text{ см}^2$.

в)

Если площадь боковой поверхности равна $784 \text{ см}^2$.
Найдем площадь одной грани:
$S_{грани} = \frac{S_{бок}}{4} = \frac{784}{4} = 196 \text{ см}^2$.
Вычислим площадь полной поверхности:
$S_{полн} = 6 \cdot S_{грани} = 6 \cdot 196 = 1176 \text{ см}^2$.
Ответ: $1176 \text{ см}^2$.