Номер 20, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

поверхности пирамиды.

20. Полная поверхность правильной четырехугольной пирамиды равна $357 \, \text{см}^2$, а площадь ее основания – $49 \, \text{дм}^2$. Найдите:

1) сторону основания;

2) апофему;

3) боковое ребро пирамиды.

В условии задачи даны полная поверхность правильной четырехугольной пирамиды $S_{полн} = 357 \text{ см}^2$ и площадь ее основания $S_{осн} = 49 \text{ дм}^2$.

Для корректного решения необходимо привести все величины к одной системе измерения. Переведем площадь основания в квадратные сантиметры: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, следовательно, $1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$.

$S_{осн} = 49 \text{ дм}^2 = 49 \times 100 \text{ см}^2 = 4900 \text{ см}^2$.

Получается, что площадь основания ($4900 \text{ см}^2$) больше полной площади поверхности ($357 \text{ см}^2$), что невозможно, так как $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$, а площадь боковой поверхности не может быть отрицательной. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Будем считать, что единицы измерения должны быть одинаковыми, и площадь основания равна $49 \text{ см}^2$.

Итак, принимаем для решения следующие данные: $S_{полн} = 357 \text{ см}^2$ и $S_{осн} = 49 \text{ см}^2$.

1) сторону основания

Так как пирамида правильная четырехугольная, в ее основании лежит квадрат. Площадь квадрата ($S_{осн}$) со стороной $a$ вычисляется по формуле $S_{осн} = a^2$.

Подставим известное значение площади основания:

$a^2 = 49 \text{ см}^2$

Отсюда находим сторону основания $a$:

$a = \sqrt{49} = 7 \text{ см}$

Ответ: 7 см.

2) апофему

Полная площадь поверхности пирамиды является суммой площади основания и площади боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

Выразим и найдем площадь боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{бок} = S_{полн} - S_{осн} = 357 \text{ см}^2 - 49 \text{ см}^2 = 308 \text{ см}^2$

Боковая поверхность правильной четырехугольной пирамиды состоит из четырех одинаковых равнобедренных треугольников. Площадь одной боковой грани ($S_{грани}$) равна:

$S_{грани} = \frac{S_{бок}}{4} = \frac{308}{4} = 77 \text{ см}^2$

Площадь треугольной грани также вычисляется по формуле $S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $a$ – сторона основания, а $h_a$ – апофема (высота боковой грани).

Подставим известные значения и найдем апофему $h_a$:

$77 = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot h_a$

$154 = 7 \cdot h_a$

$h_a = \frac{154}{7} = 22 \text{ см}$

Ответ: 22 см.

3) боковое ребро пирамиды

Боковое ребро пирамиды ($l$), ее апофема ($h_a$) и половина стороны основания ($a/2$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике боковое ребро $l$ является гипотенузой, а апофема $h_a$ и половина стороны основания $a/2$ – катетами.

По теореме Пифагора: $l^2 = h_a^2 + (\frac{a}{2})^2$.

Подставим известные значения: $a = 7 \text{ см}$ и $h_a = 22 \text{ см}$.

$l^2 = 22^2 + (\frac{7}{2})^2 = 484 + (3.5)^2 = 484 + 12.25 = 496.25$

Теперь найдем длину бокового ребра $l$:

$l = \sqrt{496.25} \text{ см}$

Это значение можно также представить в виде дроби: $496.25 = \frac{1985}{4}$, тогда $l = \sqrt{\frac{1985}{4}} = \frac{\sqrt{1985}}{2} \text{ см}$.

Ответ: $\sqrt{496.25}$ см (или $\frac{\sqrt{1985}}{2}$ см).