Номер 23, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

Задачи для повторения. Глава III. Объемы геометрических тел - номер 23, страница 66.

Условие rus.

23. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 14 дм, а боковое ребро с плоскостью ее основания образует угол $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC, где ABC – равносторонний треугольник в основании, а S – вершина пирамиды. Сторона основания $a = AB = BC = AC = 14$ дм. Высота пирамиды SO, где O – центр треугольника ABC, который также является центром вписанной и описанной окружностей.

Угол между боковым ребром (например, SA) и плоскостью основания (ABC) – это угол между ребром SA и его проекцией на плоскость основания, то есть отрезком OA. По условию, $\angle SAO = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAO$ ( $\angle SOA = 90^\circ$ ). Так как один из острых углов равен $45^\circ$, то треугольник является равнобедренным. Следовательно, высота пирамиды $SO$ равна радиусу описанной окружности основания $OA$. $SO = OA$.

Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ Подставим значение $a = 14$ дм: $OA = R = \frac{14}{\sqrt{3}}$ дм. Значит, высота пирамиды $H = SO = \frac{14}{\sqrt{3}}$ дм.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды $S_{бок}$ можно найти по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a$ где $P$ – периметр основания, а $h_a$ – апофема (высота боковой грани).

Периметр основания $P = 3a = 3 \cdot 14 = 42$ дм.

Для нахождения апофемы $h_a$ (обозначим ее SM, где M – середина стороны BC), рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$. Гипотенуза SM – это апофема, катеты – высота пирамиды SO и радиус вписанной окружности OM.

Радиус $r$ окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ $OM = r = \frac{14}{2\sqrt{3}} = \frac{7}{\sqrt{3}}$ дм.

По теореме Пифагора для $\triangle SOM$: $SM^2 = SO^2 + OM^2$ $h_a^2 = \left(\frac{14}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{7}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{196}{3} + \frac{49}{3} = \frac{245}{3}$ $h_a = \sqrt{\frac{245}{3}} = \sqrt{\frac{49 \cdot 5}{3}} = \frac{7\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{5} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{15}}{3}$ дм.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot \frac{7\sqrt{15}}{3} = 21 \cdot \frac{7\sqrt{15}}{3} = 7 \cdot 7\sqrt{15} = 49\sqrt{15}$ дм².

Ответ: $49\sqrt{15}$ дм².