Номер 17, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

17. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник. Его высота равна 18 дм, а основание – 16 дм. Каждое боковое ребро пирамиды равно 20 дм. Найдите высоту пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABC$, основанием которой является равнобедренный треугольник $ABC$. В условии сказано, что высота этого треугольника равна $18$ дм, а его основание — $16$ дм. Пусть $AB$ — основание треугольника $ABC$, тогда $AB = 16$ дм, и высота $CH$, проведенная к $AB$, равна $18$ дм. Боковые стороны треугольника $AC$ и $BC$ равны. Каждое боковое ребро пирамиды равно $l = 20$ дм ($SA = SB = SC = 20$ дм).

Поскольку все боковые ребра пирамиды равны, то ее вершина $S$ проецируется в центр $O$ окружности, описанной около треугольника основания $ABC$. Таким образом, высота пирамиды $H$ — это длина отрезка $SO$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOC$. Его гипотенуза — боковое ребро $SC = l = 20$ дм, один катет — высота пирамиды $H = SO$, а второй катет — радиус $R = OC$ описанной окружности треугольника $ABC$. По теореме Пифагора имеем:$H^2 + R^2 = l^2$Следовательно, для нахождения высоты $H$ нам нужно сначала вычислить радиус $R$ описанной окружности.$H = \sqrt{l^2 - R^2}$

1. Найдем длины сторон треугольника основания.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $CH$, проведенная к основанию $AB$, является также и медианой. Это значит, что точка $H$ делит основание $AB$ пополам.$AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{16}{2} = 8$ дм.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. По теореме Пифагора найдем длину боковой стороны $AC$:$AC^2 = AH^2 + CH^2$$AC = \sqrt{8^2 + 18^2} = \sqrt{64 + 324} = \sqrt{388}$ дм.Таким образом, стороны треугольника основания: $AC = BC = \sqrt{388}$ дм и $AB = 16$ дм.

2. Найдем радиус $R$ описанной окружности основания.

Для вычисления радиуса $R$ описанной окружности воспользуемся формулой $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — длины сторон треугольника, а $S$ — его площадь.

Сначала вычислим площадь треугольника $ABC$:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 18 = 8 \cdot 18 = 144$ дм$^2$.

Теперь подставим известные значения в формулу для радиуса:$R = \frac{AC \cdot BC \cdot AB}{4 S_{ABC}} = \frac{\sqrt{388} \cdot \sqrt{388} \cdot 16}{4 \cdot 144} = \frac{388 \cdot 16}{576}$

Сократим полученную дробь:$R = \frac{388 \cdot 16}{36 \cdot 16} = \frac{388}{36} = \frac{97}{9}$ дм.

3. Найдем высоту пирамиды $H$.

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления высоты пирамиды $H$.$H^2 = l^2 - R^2 = 20^2 - \left(\frac{97}{9}\right)^2 = 400 - \frac{9409}{81}$

Приведем разность к общему знаменателю:$H^2 = \frac{400 \cdot 81}{81} - \frac{9409}{81} = \frac{32400 - 9409}{81} = \frac{22991}{81}$

Извлекая квадратный корень, находим высоту:$H = \sqrt{\frac{22991}{81}} = \frac{\sqrt{22991}}{9}$ дм.

Ответ: $\frac{\sqrt{22991}}{9}$ дм.